Question

（本小题满分12分）
已知函数，且。
（I）试用含的代数式表示；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点。

Answer 1

（I）
（Ⅱ）当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，函数的单调增区间为R；
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为。
（Ⅲ）证明见解析。解析:

解法一：
（I）依题意，得
由得
（Ⅱ）由（I）得
故
令，则或
①当时，
当变化时，与的变化情况如下表：

	+	—	+
	单调递增	单调递减	单调递增

由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为
②由时，，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R
③当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为
综上：
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，函数的单调增区间为R；
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为
（Ⅲ）当时，得
由，得
由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为
所以函数在处取得极值。
故
所以直线的方程为
由得
令
易得，而的图像在内是一条连续不断的曲线，
故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点
解法二：
（I）同解法一
（Ⅱ）同解法一。
（Ⅲ）当时，得，由，得
由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，
故
所以直线的方程为
由得
解得

所以线段与曲线有异于的公共点。