Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的边于G，F，E点．
求证：（1）F是BC的中点；
（2）∠A=∠GEF．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为在直角△ABC中，D是AB的中点，所以BD=DC，由因为CD是⊙O的直径，所以DF⊥BC；根据等腰三角形的性质可证，F是BC的中点；
（2）根据中位线定理，可证∠A=∠BDF；再由圆周角定理得∠BDF=∠GEF，所以∠A=∠GEF，即证．
解答：证明一：
（1）连接DF，∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴BD=DC=AB，（2分）
∵DC是⊙O的直径，
∴DF⊥BC，（4分）
∴BF=FC，即F是BC的中点；（5分）

（2）∵D，F分别是AB，BC的中点，
∴DF∥AC，（6分）
∴∠A=∠BDF，（7分）
∵∠BDF=∠GEF（圆周角定理），（8分）
∴∠A=∠GEF．（9分）

证明二：
（1）连接DF，DE，
∵DC是⊙O直径，
∴∠DEC=∠DFC=90°．（1分）
∵∠ECF=90°，
∴四边形DECF是矩形．
∴EF=CD，DF=EC．（2分）
∵D是AB的中点，∠ACB=90°，
∴EF=CD=BD=AB．（3分）
∴△DBF≌△EFC．（4分）
∴BF=FC，即F是BC的中点．（5分）

（2）∵△DBF≌△EFC，
∴∠BDF=∠FEC，∠B=∠EFC．（6分）
∵∠ACB=90°（也可证AB∥EF，得∠A=∠FEC），
∴∠A=∠FEC．（7分）
∵∠FEG=∠BDF（同弧所对的圆周角相等 ），（8分）
∴∠A=∠GEF．（9分）
（此题证法较多，大纲卷参考答案中，又给出了两种不同的证法，可供参考．）
点评：本题考查的是直角三角形的性质，中位线的性质，圆周角性质．