Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，将Rt△ABC绕点C沿顺时针方向旋转60°得到△DEC，点E在AC上，连接AD，BE，并延长BE交AD于G，连接CG．问：四边形ABCG是什么特殊的四边形？为什么？

Answer 1

分析 根据旋转的性质得CB=CE，CA=CD，∠BCE=∠ACD=60°，则可判断△CBE和△CAD都是等边三角形，所以EB=EC=BC，∠BEC=60°，∠CAD=60°，接着再判断△AEC为等边三角形得到AE=EG，然后在Rt△ABC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AC=2BC，则易得AE=EC=BE=EG，于是根据对角线相等且互相平分的四边形为矩形进行判断．

解答 解：四边形ABCG是矩形．理由如下：
∵Rt△ABC绕点C沿顺时针方向旋转60°得到△DEC，点E在AC上，
∴CB=CE，CA=CD，∠BCE=∠ACD=60°，
∴△CBE和△CAD都是等边三角形，
∴EB=EC=BC，∠BEC=60°，∠CAD=60°，
∵∠AEG=∠BEC=60°，
∴△AEC为等边三角形，
∴AE=EG，
∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BCA=60°，
∴AC=2BC，
而EC=BC，
∴AE=EC，
∴AE=EC=BE=EG，
∴四边形ABCG是矩形．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和矩形的判定．