Question

已知xy+x+y=71，x²y+xy²=880，x，y为自然数，则x²+y²=

 

．

Answer 1

考点：一元二次方程的应用,因式分解的应用

专题：转化思想,因式分解

分析：将xy+x+y=71，x²y+xy²=880稍作变化，变为xy+（x+y）=71，xy（x+y）=880．此时x+y、xy可以看做一元二次方程t²-71t+880=0的两个解．解出该方程的解即为x+y，xy的值．再将x+y，xy代入x²+y²=（x+y）²-2xy求值即可．

解答：解：∵xy+x+y=71，x²y+xy²=880，
∴xy（x+y）=880，xy+（x+y）=71，
∴x+y、xy可以看做一元二次方程t²-71t+880=0的两个解，
解得t=55或16，
∴x+y=55、xy=16或x+y=16、xy=55，
①当x+y=55、xy=16时，x²+y²=（x+y）²-2xy=55²-2×16=2993；
②当x+y=16、xy=55时，x²+y²=（x+y）²-2xy=16²-2×55=146．
故答案为：2993或146．

点评：本题考查因式分解的应用、一元二次方程．解决本题的关键是将x+y、xy可以看做一元二次方程t²-71t+880=0的两个解，解出t即可知x+y、xy的值．