Question

24、如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连接PD，O为AC中点．
（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；
（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；
（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据点P在线段AO上时，利用三角形的全等判定可以得出PE⊥PD，PE=PD；
（2）利用三角形全等得出，BP=PD，由PB=PE，得出PE=PD，要证PE⊥PD；从三方面分析，当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时，当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，当点E在BC的延长线上时，分别分析即可得出；
（3）利用PE=PB得出P点在BE的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质只要以P为圆心，PB为半径画弧即可得出E点位置，利用（2）中证明思路即可得出答案．

解答：解：（1）当点P在线段AO上时，
PE与PD的数量关系和位置关系分别为：PE=PD，PE⊥PD；

（2）∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴BA=DA，∠BAP=∠DAP=45°，
∵PA=PA，
∴△BAP≌△DAP（SAS），
∴PB=PD，
又∵PB=PE，
∴PE=PD．
（i）当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时，
∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB，
∴∠PEB=∠PDC，
而∠PEB+∠PEC=180°，
∴∠PDC+∠PEC=180°，
∴∠DPE=360°-（∠BCD+∠PDC+∠PEC）=90°，
∴PE⊥PD．
（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD．
（iii）当点E在BC的延长线上时，如图．
∵∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，
∴∠DPE=∠DCE=90°，
∴PE⊥PD．
综合（i）（ii）（iii），PE⊥PD；

（3）同理即可得出：PE⊥PD，PD=PE．

点评：此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质和尺规作图等知识，此题涉及到分类讨论思想，这是数学中常用思想同学们应有意识的应用．