Question

6．某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
操作发现：
（1）如图1，分别以AB和AC为边向△ABC外侧作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD，请你完成作图并证明BE=CD．（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）
类比探究：
（2）如图2，分别以AB和AC为边向△ABC外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE、BG，则线段CE、BG有什么关系？说明理由．
灵活运用：
（3）如图3，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，AD=2，BD=3，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据题意画出相应图形，如图所示，（分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧的交点即为点D，△ABD为等边三角形，△ACE同理可得），由三角形ABD与三角形ACE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到AD=AB，AE=AC，且∠BAD=∠CAE=60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACD与三角形AEB全等，利用全等三角形的对应边相等得到CD=BE；
（2）CE=BG，理由为：由四边形ABDE与四边形ACFG都为正方形，利用正方形的性质得到AD=AB，AE=AC，且∠BAD=∠CAE=90°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACE与三角形ABG全等，利用全等三角形的对应边相等得到CE=BG；
（3）在CD外侧作等边△CDE，易证∠ACE=∠BCD，进而可以证明△ACE≌△BCD，可得AE=BD，在Rt△ADE中根据勾股定理可以求得DE的长，即可．

解答 解：（1）作图，如图所示：

∵△ABD和△ACE都为等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠CAB，即∠DAC=∠EAB，
在△ACD和△AEB中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠EAB}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴BE=CD；
（2）CE=BG，理由为：
证明：∵四边形ABDE与四边形ACFG都为正方形，
∴AE=AB，AC=AG，∠EAB=∠CAG=90°，
∴∠EAB+∠BAC=∠CAG+∠CAB，即∠EAC=∠BAG，
在△ACE和△ABG中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAC=∠BAG}\\{AC=AG}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ABG（SAS），
∴CE=BG；
（3）∵AB=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
在CD外侧作等边△CDE，则∠ADE=90°，DE=DC，∠DCE=60°，

∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=CE}\\{∠BCD=∠ACE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴AE=BD，
∵在Rt△ADE中，DE²=AE²-AD²=BD²-AD²=5，
∴DE=$\sqrt{5}$，
∴CD=$\sqrt{5}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质和判定，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，简单的基本作图，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．