Question

8．抛物线y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C．
（1）当OB=OC时，求此时抛物线函数解析式；
（2）当△ABC为等腰三角形时，求m的值；
（3）若点P（x₁，b）与点Q（x₂，b）在（1）中抛物线上，且x₁＜x₂，PQ=n，求4x₁²-2x₂n+6n+3的值．

Answer 1

分析 （1）先令x=0求出y的值即可得出C点坐标，再根据点A在点B的左侧，OB=OC求出B点坐标，代入二次函数解析式求出m的值即可；
（2）对于抛物线解析式，令y为0，求出x的值，确定出A，B的坐标，进而表示出AB，AC，BC的长，分AB=AC，AB=BC，AC=BC三种情况考虑，求出m的值即可；
（3）由点P（x₁，b）与点Q（x₂，b）在抛物线y=x²-2x-3上，得出x₁，x₂即为方程x²-2x-3-b=0的两根，根据一元二次方程的解的定义及根与系数的关系得到x₁²=b+3+2x₁，x₂²=b+3+2x₂，x₁+x₂=2，x₁•x₂=-3-b，又x₁＜x₂，PQ=n，则n=x₂-x₁，将以上关系式代入4x₁²-2x₂n+6n+3，化简即可求解．

解答 解：（1）∵抛物线y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）与y轴交于点C，
∴C（0，-3），
∵抛物线与x轴交于A、B两点，OB=OC，
∴B（3，0）或B（-3，0），
∵点A在点B的左侧，m＞0，
∴抛物线经过点B（3，0），
∴0=9m+3（m-3）-3，
∴m=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3；

（2）y=mx²+（m-3）x-3=（x+1）（mx-3），
令y=0，得到（x+1）（mx-3）=0，
解得：x=-1或x=$\frac{3}{m}$，
即A（-1，0），B（$\frac{3}{m}$，0），
∵C（0，-3），
∴AB=$\frac{3}{m}$-（-1），AC²=1²+3²=10，BC²=（$\frac{3}{m}$）²+3²=$\frac{9}{{m}^{2}}$+9．
当△ABC为等腰三角形时，可分三种情况进行讨论：
①若AB=AC=$\sqrt{10}$，则$\frac{3}{m}$-（-1）=$\sqrt{10}$，解得：m=$\frac{\sqrt{10}+1}{3}$；
②若BC=AC=$\sqrt{10}$，则$\frac{9}{{m}^{2}}$+9=10，解得：m=3；
③当AB=BC时，[$\frac{3}{m}$-（-1）]²=$\frac{9}{{m}^{2}}$+9，解得：m=$\frac{3}{4}$；
综上，m的值为$\frac{\sqrt{10}+1}{3}$或3或$\frac{3}{4}$；

（3）∵点P（x₁，b）与点Q（x₂，b）在抛物线y=x²-2x-3上，
∴x₁，x₂即为方程x²-2x-3-b=0的两根，
∴x₁²=b+3+2x₁，x₂²=b+3+2x₂，x₁+x₂=2，x₁•x₂=-3-b，
∵x₁＜x₂，PQ=n，
∴n=x₂-x₁，
∴4x₁²-2x₂n+6n+3=4x₁²-2x₂（x₂-x₁）+6（x₂-x₁）+3
=4（b+3+2x₁）-2（b+3+2x₁）+2（-3-b）+6（x₂-x₁）+3
=8x₁-4x₂+6x₂-6x₁+3
=2x₁+2x₂+3
=7．

点评 此题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，代数式求值等知识，有一定难度．弄清题意是解决本题的关键．