分析 （1）由折叠的性质可知：PE=BE，∠EPH=∠ABC=90°，从而可证明∠EBP=∠EPB．，然后再根据∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP，得到∠PBC=∠BPH，由平行线的性质可知：∠APB=∠PBC，从而易证：∠APB=∠BPH；
（2）过点B作BH⊥PH，分别证明Rt△APB≌Rt△MPB，Rt△BMH≌Rt△BCH，从而可知：AP=PM，MH=CH，从而可证明三角形PDH的周长=AD+DC=8；
（3）过点F作FN⊥AB，垂足为N，先证明△EFN≌△BPA，从而得到：EN=AP=x，然后在Rt△APE中，由勾股定理可求得：BE=2+$\frac{{x}^{2}}{8}$，从而得到CF=BE-EN=2+$\frac{{x}^{2}}{8}-x$，因为四边形PEFG与四边形BEFC全等所以S=$\frac{1}{2}$（EF+CF）BC，从而可得到S=$\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+8$，最后利用配方法即可求得函数的最值．
解答 解：（1）如图1所示：
证明：由折叠的性质可知：PE=BE，∠EPH=∠ABC=90°，
∴∠EBP=∠EPB．
∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP，即：∠PBC=∠BPH．
又∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH．
（2）不变化．
理由：如图2过点B作BH⊥PH．
在Rt△APB和Rt△MPB中$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠PMB}\\{∠APB=∠BPM}\\{PB=PB}\end{array}\right.$，
∴Rt△APB≌Rt△MPB．
∴AP=PM，BM=AB．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC．
∴MB=BC．
在Rt△BMH和Rt△BCH中$\left\{\begin{array}{l}{BH=BH}\\{BM=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BMH≌Rt△BCH，
∴MH=CH．
∴PD+PH+DH=PD+PM+MH+DH=PD+PA+DH+HC=AD+DC=8．
∴三角形PDH的周长不变．
（3）如图3，过点F作FN⊥AB，垂足为N，则FN=BC=AB．
∵EF为折痕，
∴EF⊥BP．
∴∠EFN+∠NEF=∠ABP+∠BEF=90°．
∴∠EFN=∠ABP．
又∵∠A=∠ENF=90°，
在△EFN和△BPA中$\left\{\begin{array}{l}{∠EFN=∠ABP}\\{AB=FN}\\{∠A=∠ENF}\end{array}\right.$，
∴△EFN≌△BPA．
∴EN=AP=x．
∵AE+BE=4，
∴AE=4-BE，
在Rt△APE中，由勾股定理可知：AE2+AP2=EP2，
又∵EP=EB，
∴（4-BE）2+x2=BE2．
解得：BE=2+$\frac{{x}^{2}}{8}$．
∴CF=BE-EN=2+$\frac{{x}^{2}}{8}-x$．
∵四边形PEFG与四边形BEFC全等，
∴S=$\frac{1}{2}$（EF+CF）BC=$\frac{1}{2}（4+\frac{{x}^{2}}{4}-x）×4$，即S=$\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+8$．
配方得：S=$\frac{1}{2}（x-2）^{2}+6$
∴当x=2时，S有最小值，最小值为6．
点评 本题考查的是三角形、四边形和函数的综合应用，证得三角形DPH的周长等于AD+DC以及求得BE、CF的长（用含x的式子表示）是解题的关键．
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如图，将含30°的直角三角尺放在如图所示的直角坐标系中，点A（0，4），点B在原点，∠C=90°，∠ABC=30°，D点与A点关于原点对称，A点向D点运动，到达D点后停止．B点在x轴上运动．当A到达D时，点C走过的路径长为4$\sqrt{3}$．查看答案和解析>>
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如图，已知AB∥DE，BC⊥CD，∠ABC和∠CDE的平分线交于点F，∠BFD=135°．
如图，已知△ABC是等边三角形，△ABD绕点A旋转到△ACE的位置，连接DE，若AD=5，求△ADE的周长．