Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，M、N为底边BC的三等分点，连接AM，DN．
（1）求证：四边形AMND是平行四边形；
（2）连接BD、AC，AM与对角线BD交于点G，DN与对角线AC交于点H，且AC⊥BD．试判断四边形AGHD的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）通过证明四边形AMND中的一组对边AD和MN平行且相等即可；
（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，先根据平行四边形的判定定理一组对边平行且相等（GH∥AD，GH=AD）证明出四边形AGHD是平行四边形，又AC⊥BD，即可判断出四边形AGHD是菱形．

解答：（1）证明：∵BC=3AD，BC=3MN，
∴AD=MN，
∵AD∥BC，
∴四边形AMND是平行四边形．

（2）解：四边形AGHD是菱形．
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠MBG，
∵∠BGM=∠DGA，AD=BM，
∴△BGM≌△DGA（AAS），
∴AG=GM．
同理可得AH=HC，
∴GH是△AMC的中位线，
∴GH∥BC，GH=

1

2

MC=MN，
∴GH∥AD，GH=AD，
∴四边形AGHD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形AGHD是菱形．

点评：本题考查了梯形的知识，及平行四边形和菱形的判定，难度适中，要求熟练掌握这些知识以便灵活运用．