Question

如图，⊙O_l和⊙O₂外切于A，PA是内公切线，BC是外公切线，B、C是切点．①PB=AB；②∠PBA=∠PAB；③△PAB∽△O_lAB；④PB•PC=O_lA•O₂A．上述结论，正确结论的个数是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：对①由切线性质PB=PA，∠PBA=∠PAB，所以PA≠AB，
对③由PA是内公切线，BC是外公切线所以∠PBO₁=∠PAO₁=90°，则∠O₁+∠APB=180°，
又有∠O₁≠90°所以∠O₁≠∠APB那么△PAB∽△O_lAB不成立．
要证PB•PC=O_lA•O₂A，由PA⊥O_lO₂则PA²=PB•PC，由∠O_lPO₂=90°，则PA^2₌O_lA•O₂A，所以④成立．
解答：解：①∵PA是内公切线，BC是外公切线，B、C是切点，
∴∠PBO₁=∠PAO₁=90°，
∵O₁A=O₁B，
∴∠O₁AB=∠O₁BA，
∴90°-∠O₁AB=90°-∠O₁BA，
即∠PBA=∠PAB．
②

连接O₁P，O₂P．
∵PA是内公切线，BC是外公切线，B、C是切点，
∴PA=PB=PC，PA⊥O_lO₂．
∴PA²=PB•PC，
∵O₁A=O₁B，PO₁是公共边，
∴△PBO₁≌△PAO_1，
∴∠PO₁B=∠PO₁A，
同理∠PO₂C=∠PO₂A，
∵∠AO₁B+∠CO₂A=180°．
∴∠PO₁A+∠PO₂A=90°
∴∠O_lPO₂=90°，
∴PA^2₌O_lA•O₂A
∴PB•PC=O_lA•O₂A，
点评：这道题考查了相切三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，射影定理等，同学们应该熟练掌握．