Question

【题目】二次函数y=ax2﹣bx+b（a＞0，b＞0）图象的顶点的纵坐标不大于 ，且图象与x轴交于A，B两点，则线段AB长度的最小值是 ．

Answer 1

【答案】2
【解析】解：∵抛物线顶点横坐标为x=﹣ = ，

代入得：y=a ﹣ =b≤﹣ ，

化简得： ≥3，即b≥6a，（此时△＞0，符合题意）

∵当y=ax2﹣bx+b=0，时，x1= ，x2= ，

∴AB= ，

∵a、b均大于0，

∴当b=6a时，AB有最小值为2 ，

所以答案是 2 ．

【考点精析】掌握二次函数的性质和二次函数的最值是解答本题的根本，需要知道增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a．