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    阅读材料，解答问题．
    已知：锐角△ABC，如图，求作：正方形DEFG，使D、E落在BC边上，F、G分别落在AC、AB边上．
    作法：（1）画一个有三个顶点落在△ABC两边上的正方形D1、E1、F1、G1（如图所示）；
    （2）连接BF，并延长交AC于点F；
    （3）过点F作EF⊥BC于点E；
    （4）过F作FG∥BC，交AB于点G；
    （5）过点G作GD⊥BC于点D；则四边形DEFG即为所求作的正方形．
    问题：（1）说明上述所求作四边形DEFG为正方形的理由．
    （2）在△ABC中，如果BC=120，BC边上的高为80，求上述正方形DEFG的边长．
    （3）若把（2）中的正方形DEFG改为矩形DEFG，且GF=
    12
    DG，其他条件不变，此时，GF是多少？
    分析：（1）由EF⊥BC，GD⊥BC，FG∥BC，易得四边形DEFG是矩形，然后由四边形D1E1F1G1是正方形，可得
    F1G1
    FG
    =
    BF1
    BF
    =
    E1F1
    EF
    ，则可得FG=EF，即可证得四边形DEFG为正方形；
    （2）过点A作AM⊥BC于M，交FG于N，由四边形DEFG为正方形，可得△AGF∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比，设正方形DEFG的边长为x，即可得方程
    80-x
    80
    =
    x
    120
    ，解此方程即可求得答案；
    （3）过点A作AM⊥BC于M，交FG于N，由四边形DEFG为矩形，可得△AGF∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比，设GF=x，则DG=2x，即可得方程
    80-2x
    80
    =
    x
    120
    ，解此方程即可求得答案．
    解答：解：（1）证明：∵EF⊥BC，GD⊥BC，
    ∴∠FED=∠EDG=90°，
    ∵FG∥BC，
    ∴∠EFG=180°-∠FED=90°，
    ∴四边形DEFG是矩形，
    ∵四边形D1E1F1G1是正方形，
    ∴E1F1=F1G1，F1G1∥BC，
    ∴
    F1G1
    FG
    =
    BF1
    BF
    =
    E1F1
    EF
    ，
    ∴FG=EF，
    ∴四边形DEFG为正方形；

    （2）过点A作AM⊥BC于M，交FG于N，
    ∵四边形DEFG为正方形，
    ∴FG∥BC，
    ∴AN⊥GF，△AGF∽△ABC，
    ∴
    AN
    AM
    =
    FG
    BC
    ，
    设正方形DEFG的边长为x，
    则AM=80，AN=80-x，
    即
    80-x
    80
    =
    x
    120
    ，
    解得：x=48，
    ∴正方形DEFG的边长为48；

    （3）过点A作AM⊥BC于M，交FG于N，
    ∵四边形DEFG为矩形，
    ∴FG∥BC，
    ∴AN⊥GF，△AGF∽△ABC，
    ∴
    AN
    AM
    =
    FG
    BC
    ，
    ∵GF=
    1
    2
    DG，
    设GF=x，则DG=2x，AM=80，AN=AM=MN=AM-DG=80-2x，
    即
    80-2x
    80
    =
    x
    120
    ，
    解得：x=30，
    ∴GF=30．
    点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、矩形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，解题时注意数形结合思想与方程思想的应用，注意准确作出辅助线是解此题的关键．
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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    24、阅读材料，解答问题．
    例．用图象法解一元二次不等式：x2-2x-3＞0．
    解：设y=x2-2x-3，则y是x的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．
    又∵当y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3．∴由此得抛物线y=x2-2x-3的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当x＜-1或x＞3时，y＞0．∴x2-2x-3＞0的解集是：x＜-1或x＞3．
    （1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x2-2x-3＜0的解集是
    -1＜x＜3
    ；
    （2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2-5x+6＜0．（画出大致图象）．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    25、阅读材料并解答问题：
    我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数等式也可以用这种形式表示．例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就可以用图①或图②等图形的面积来表示

    （1）请写出图③所表示的等式：
    （2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2
    ．
    （2）如图所示的长方形或正方形三类卡片各有若干张，请你用这些卡片，拼成一个长方形或正方形图形．要求：所拼图形中每类卡片都要有，卡片之间不能重叠，画出示意图，并写出你发现的等式．（请仿照上图在几何图形上标出有关数量）．

    你发现的等式是
    （a+b）（a+b）=a2+2ab+b2．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    27、阅读材料并解答问题：

    如图①，将6个小长方形（或正方形）既无空隙，又不重叠地拼成一个大的长方形，根据图示尺寸，它的面积既可以表示为（2a+b）（a+b），又可以表示为2a2+3ab+b2，因此，我们可以得到一个等式：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2．
    （1）请写出图②所表示的等式：
    （a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2
    ．
    （2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2（请仿照图①或图②在几何图形上标出有关数量）．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读材料，解答问题：为解方程（x2-1）2-5（x2-1）+4=0，我们可以将x2-1视为一个整体，然后设x2-1=y原方程可化为y2-5y+4=0，解此方程得y1=1，y2=4．当y=1时，x2-1=1，∴x=±
    		2
    ；当y=4时，x2-1=4，∴x=±
    		5
    ，∴原方程的解为x1=
    		2
    ，x2=-
    		2
    ，x3=
    		5
    ，x4=-
    		5
    ．
    （1）填空：在原方程得到方程y2-5y+4=0的过程中，利用了
    换元
    换元
    法达到了降次的目的，体现了
    转化
    转化
    的数学思想
    （2）解方程：（x2-x）2-8（x2-x）+12=0．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读材料，解答问题：
    在数学课上，李老师和同学们一起探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角的平分线，作法如下：
    ①如图1，在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE；
    ②分别以D、E为圆心，以大于
    12
    DE    的长为半径作弧，两弧交于点C；
    ③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．

    小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，作法如下：
    ①如图2，利用三角板上的刻度，在OA和OB上
    分别画点M、N，使OM=ON；
    ②分别过点M、N作OM、ON的垂线，交于点P；
    ③作射线OP，则OP就是∠AOB的平分线．
    小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线．
    请你按要求完成下列问题：
    （1）李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的方法是
    “SSS”
    “SSS”
    ．
    （2）小聪的作法正确吗？请说明理由．
    （3）请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法（要求：画出图形，并简述过程和理由）

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