Question

如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，作BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M．sin∠CBD=

1

3

．则OM=

 

．

Answer 1

分析：连接AO并延长，交圆O于点N，连接BN，则OM是△ABN的中位线，根据圆周角定理即可证明∠NAB=∠CBD，即可求得NB的长，根据三角形中位线定理即可求解．

解答：解：连接AO并延长，交圆O于点N，连接BN．
∵AN是直径，
∴∠ABN=90°，
∴∠ABN=∠CDB，
又∵∠C=∠N，
∴∠NAB=∠CBD，
∴sin∠NAB=

BN

AN

=sin∠CBD=

1

3

，
∴NB=AN•sin∠CBD=

2

3

，
∵OM⊥AB，
∴AM=BM，
又∵OA=ON，
∴OM是△ABN的中位线．
∴OM=

1

2

NB=

1

3

．
故答案为：

1

3

．

点评：本题主要考查了三角形中位线定理，正确作出辅助线，利用等弧所对的圆周角相等把sin∠CBD=

1

3

进行转化是解题的关键．