Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A₁恰落在∠BCD的平分线上时，则CA₁的长为

 

．

Answer 1

考点：矩形的性质,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：如图，过点A₁作A₁M⊥BC于点M．设CM=A₁M=x，则BM=4-x．在直角△A₁MB中，由勾股定理得到：A₁M²=A₁B²-BM²=9-（4-x）²．由此求得x的值；然后在等腰Rt△A₁CM中，
CA₁=

2

A₁M．

解答：解：如图，过点A₁作A₁M⊥BC于点M．
∵点A的对应点A₁恰落在∠BCD的平分线上，
∴设CM=A₁M=x，则BM=4-x．
又由折叠的性质知AB=A₁B=3．
∴在直角△A₁MB中，由勾股定理得到：A₁M²=A₁B²-BM²=9-（4-x）²．
∴9-（4-x
）²=x²，
∴x=A₁M=2±

2

2

，
∴在等腰Rt△A₁CM中，CA₁=

2

A₁M=2

2

±1．
故答案是：2

2

±1．

点评：本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题）．解题的关键是作出辅助线，构建直角三角形△A₁MB和等腰直角△A₁CM，利用勾股定理将所求的线段与已知线段的数量关系联系起来．