Question

【题目】如图，四边形内接于，是的直径，和相交于点，且．

（1）求证：；

（2）分别延长，交于点，过点作交的延长线于点，若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）利用DC2=CECA，加上∠DCE=∠ACD可判断△CDE∽△CAD，则∠CDB=∠CAD，从而得到BC=CD；

（2）连接OC，先证AD∥OC，由平行线分线段成比例性质定理求得PC的值，再由割线定理PCPD=PBPA求得半径，根据勾股定理求得AC，再证明△AFD∽△ACB，设FD=x，由比例线段得到AF=x,，在Rt△AFP中，利用勾股定列出方程，求解得DF.也可连接，过点作垂直于，和△PGO∽△PFA，根据相似三角形的性质和等量代换可得，根据线段之间的关系，即可解决.

（1）证明：，

，

，

，

，

∵四边形内接于，

；

（2）解：方法一：如图，连接，

，

，

又，

，

，

，

，

，，

又

，即，，

在中，

，

是直径，

，

，

又，

在中，设，则，

∴在中有，，

求得．

方法二；连接，过点作垂直于，

易证，可得，

△PGO∽△PFA，可得，

可得，，由方法一中代入，

即可得出．