Question

如图：AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O₁与⊙O的弦AC相交于D，DE⊥OC，垂足为E．

（1）求证：AD=DC；
（2）求证：DE是⊙O₁的切线；
（3）如果OE=EC，请判断四边形O₁OED是什么四边形，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）正方形，证明见试题解析．

试题分析：（1）连OD可得OD⊥AC，又有OA=OC，所以第一问可求解；
（2）证明O₁D⊥DE即可；
（3）如果OE=EC，又D为AC的中点，所以四条边相等，再根据角之间的关系，即可得出其形状．
试题解析：（1）连接OD，∵AO为圆O₁的直径，则∠ADO=90°．∵AC为⊙O的弦，OD为弦心距，∴AD=DC．

（2）∵D为AC的中点，O₁为AO的中点，∴O₁D∥OC．又DE⊥OC，∴DE⊥O₁D，∴DE与⊙O₁相切；
（3）如果OE=EC，又D为AC的中点，∴DE∥O₁O，又O₁D∥OE，∴四边形O₁OED为平行四边形．又∠DEO=90°，O₁O=O₁D，∴四边形O₁OED为正方形．