Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点A，C的坐标分别为（2，0），（0，2），D是x轴正半轴上的一点（点D在点A的右边），以BD为边向外作正方形BDEF（E，F两点在第一象限），连接FC交AB的延长线于点G．若反比例函数的图象经过点E，G两点，则k的值为 ______________．

Answer 1

【答案】5

【解析】分析: 过F作FN垂直于x轴,交CB延长线于点M,利用AAS得到三角形ABD与三角形BMF全等, 利用全等三角形对应边相等得到AD=FM,进而表示出F坐标, 根据B为CM中点,得出G的CF中点,表示出G坐标,进而得出E坐标, 把G与E代入反比例解析式求出a的值,确定出E坐标,代入反比例解析式求出k的值即可.

详解: 过F作FN⊥x轴,交CB的延长线于点M,过E作EH⊥x轴,交x轴于点H,

∵∠FBM+∠MBD=90°,∠MBD+∠ABD=90°,

∴∠FBM=∠ABD,

∵四边形BDEF为正方形,

∴BF=BD,

在△ABD和△BMF中,

∠BAD=∠BMF,∠ABD=∠MFB,BD=BF,

∴△ABD≌△BMF(AAS),

设AD=FM=a,则有F(4,2+a),C(0,2),

由三角形中位线可得G为CF的中点,

∴G(2,2+12a),同理得到△DHE≌△BAD,

∴EH=AD=a,OH=OA+AD+DH=4+a,

∴E(4+a,a),∴2(2+12a)=a(4+a),即a2+3a-4=0,解得:a=1或a=-4(舍去),

∴E(5,1),

把F代入反比例解析式得:k=5.

故答案为:5.