Question

10．将12分成两部分，使它们的乘积为k，试探究：
（1）分成的两个数各是多少时，k=20？
（2）若不论怎样分，都不能使两部分的乘积为k，求k的范围；
（3）是否存在一个实数k，使k恰好等于分成两个数的平方和？
（4）若分成的两部分均为整数，且k也是整数，则k有没有最大值或最小值？若有，求出这个最大值和最小值；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 设分成的一部分是x，则另一部分是12-x，根据乘积为k列出方程；
（1）把k=20代入求得方程的解即可；
（2）利用根的判别式计算△＜0，得出k的取值范围即可；
（3）设k=a²+b²，进一步利用根的判别式探讨得出答案即可；
（4）建立k的二次函数，利用配方法探讨得出最值即可．

解答 解：设分成的一部分是x，则另一部分是12-x，由题意得
x（12-x）=k，
即x²-12x+k=0；
（1）当k=20时，
x²-12x+20=0，
解得：x₁=2，x₂=10，
答：分成的两个数是2和10．
（2）由题意得△=12²-4k＜0，
解得k＞36．
（3）设k=a²+b²，
x²-12x+（a²+b²）=0；
△=144-4（a²+b²）＞0，
a²+b²＜36，
只要k＜36即可．
（4）∵k=-x²+12x=-（x-6）²+36，
∴当x=6时，k存在最大值为36，
即分成的两部分为6时，k的值最大为36．

点评 此题考查一元二次方程的实际运用，理解题意，找出数量关系，列出方程是解决问题的关键．