Question

如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以D为圆心似长为半径作
圆O、C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b，

（1）求证：AE=b+a；
（2）求a+b的最大值；
（3）若m是关于x的方程：x+ax=b+ab的一个根，求m的取值范围．

Answer 1

（1）连接BE，根据等边三角形的性质可得∠AOB=60°，即得∠AEB=30°，再根据圆周角定理可得∠ACB=∠BCE=90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BE=2a，CE=a，即可得到结果；(2) ；（3）或

解析试题分析：（1）连接BE，根据等边三角形的性质可得∠AOB=60°，即得∠AEB=30°，再根据圆周角定理可得∠ACB=∠BCE=90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BE=2a，CE=a，即可得到结果；
（2）过点C作CH⊥AB于H，根据(a+b)²=a²+b²+2ab=1+2ab=1+2CH·AB=1+2CH≤1+2AD=2即可得到结果；
（3）由x+ax=b+ab可求得x=b或x=-(b+a)，分a=m=b与m=-(b+a)两种情况分析即可.
（1）连接BE

∵△ABC为等边三角形
∴∠AOB=60°
∴∠AEB=30°
∵AB为直径
∴∠ACB=∠BCE=90°
∵BC=a
∴BE=2a
CE=a
∵AC=b     
∴AE=b+a；
（2）过点C作CH⊥AB于H

在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1
∴a²+b²=1
∴(a+b)²=a²+b²+2ab=1+2ab=1+2CH·AB=1+2CH≤1+2AD=2
∴a+b≤，故a+b的最大值为；
（3）x+ax=b+ab
∴x-b+ax-ab=0  
(x+b)(x-b)+ a(x-b)=0
(x-b)(x+b+a)=0
∴x=b或x=-(b+a)
当a=m=b时，m=b=AC<AB=1
∴0<m<1 
当m=-(b+a)时，由（1）知AE=-m
又AB<AE≤2AO=2
∴1<-m≤2
∴-2≤m<-1
∴m的取值范围为或.
考点：圆的综合题
点评：本题知识点较多，综合性强，难度较大，一般是中考压轴题，需要特别注意.