Question

20．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，BC=2，D是线段BC上的一个动点，点D是关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，则线段MN长的最小值是3．

Answer 1

分析 当点P为BC的中点时，MN最短，求出此时MN的长度，当点P与点B（或C）重合时，BN（或CM）最长，求出此时BN（或CM）的长度，由此即可得出MN的取值范围．

解答 解：如图1，当点P为BC的中点时，MN最短．
此时E、F分别为AB、AC的中点，
∴PE=$\frac{1}{2}$AC，PF=$\frac{1}{2}$AB，EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=3；
如图2，当点P和点B（或点C）重合时，此时BN（或CM）最长．
此时G（H）为AB（AC）的中点，
∴CG（BH）=BC•com45°=$\sqrt{2}$，
CM（BN）=2$\sqrt{2}$
故线段MN长的取值范围是3≤MN≤2$\sqrt{2}$，
线段MN长的最小值是3，
故答案为：3．

点评 本题考查了轴对称的性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是找出MN最短和最长时点P的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，确定MN取最值时，点P的位置是关键．