Question

如图，二次函数图象的顶点为坐标系原点O，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，点D在线段AC上，与y轴平行的直线DE与二次函数图象相交于点E，∠CDO=∠OED，求点D的坐标；
（3）当点D在直线AC上的一个动点时，以点O、C、D、E为顶点的四边形能成为平行四边形吗？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数分别求出二次函数与一次函数的解析式，二次函数的解析式为y=ax²，一次函数的解析式为y=kx+b；
（2）由DE∥y轴，∠CDO=∠OED，得到△CDO∽△OED，则DO²=DE•CO，设D点的坐标为（m，-m+6），那么点E的坐标为（m，

1

3

m2），因此2m2-12m+36=6(-m+6-

1

3

m2)，解方程得到m=

3

2

，即可得到D点坐标；
（3）由OC∥DE，若DE=OC，以点O、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形；分类讨论：①当点D在点E上方，-x+6-

1

3

x2=6，得x1=0，x2=-3．②当点D在E下方，

1

3

x2-(-x+6)=6，得x=

-3± 153

2

．即可得到D点坐标．

解答：解：（1）设二次函数的解析式为y=ax²，把A（3，3）代入得a=

1

3

，
∴二次函数的解析式为y=

1

3

x²；
设一次函数的解析式为y=kx+b，
把A（3，3），B（6，0）分别代入得，3k+b=3，6k+b=0，解得k=-1，b=6，
∴一次函数的解析式为y=-x+6；

（2）∵DE∥y轴，∠CDO=∠OED，
∴△CDO∽△OED，
∴

DE

DO

=

DO

CO

，即DO2=DE•CO，
设D点的坐标为（m，-m+6），那么点E的坐标为（m，

1

3

m2），
∴OD²=m2+(m-6)2=2m2-12m+36，DE=-m+6-

1

3

m2，
又∵由直线y=-x+6与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，6），CO=6，
∴2m2-12m+36=6(-m+6-

1

3

m2)，
解得m₁=0（不合题意，舍去），m₂=

3

2

，
∴点D的坐标为（

3

2

，

9

2

）；

（3）以点O、C、D、E为顶点的四边形能成为平行四边形．理由如下：
若DE=OC，以点O、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，
①当点D在点E上方，-x+6-

1

3

x2=6，得x1=0，x2=-3．x=0（舍去），x=-3，y=-（-3）+3=6
②当点D在E下方，

1

3

x2-(-x+6)=6，得x=

-3± 153

2

．
当x=

-3+ 153

2

，y=-

-3+ 153

2

+6=

15- 153

2

；
当x=

-3- 153

2

，y=-

-3- 153

2

+6=

15+ 153

2

．
所以当D点坐标为：（-3，6）或（

-3+ 153

2

，

15- 153

2

）或（

-3- 153

2

，

15+ 153

2

）．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式．也考查了平行四边形的性质和点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式以及一元二次方程的解法．