Question

8．如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边上点，连接EF．
（1）图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S_{四边形ECBF}=3S_△EDF，求AE的长；
（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA．
①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；
②求EF的长；
（3）如图③，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN=1，CE=$\frac{4}{7}$，求$\frac{AF}{BF}$的值．

Answer 1

分析 （1）先利用折叠的性质得到EF⊥AB，△AEF≌△DEF，则S_△AEF=S_△DEF，则易得S_△ABC=4S_△AEF，再证明Rt△AEF∽Rt△ABC，然后根据相似三角形的性质得到$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AE}{AB}$）²，再利用勾股定理求出AB即可得到AE的长；
（2）①通过证明四条边相等判断四边形AEMF为菱形；
②连结AM交EF于点O，如图②，设AE=x，则EM=x，CE=4-x，先证明△CME∽△CBA得到$\frac{CM}{3}$=$\frac{4-x}{4}$=$\frac{x}{5}$，解出x后计算出CM=$\frac{4}{3}$，再利用勾股定理计算出AM，然后根据菱形的面积公式计算EF；
（3）如图③，作FH⊥BC于H，先证明△NCE∽△NFH，利用相似比得到FH：NH=4：7，设FH=4x，NH=7x，则CH=7x-1，BH=3-（7x-1）=4-7x，再证明△BFH∽△BAC，利用相似比可计算出x=$\frac{2}{5}$，则可计算出FH和BH，接着利用勾股定理计算出BF，从而得到AF的长，于是可计算出$\frac{AF}{BF}$的值．

解答 解：（1）如图①，
∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，
∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，
∴S_△AEF=S_△DEF，
∵S_{四边形ECBF}=3S_△EDF，
∴S_△ABC=4S_△AEF，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵∠EAF=∠BAC，
∴Rt△AEF∽Rt△ABC，
∴$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AE}{AB}$）²，即（$\frac{AE}{5}$）²=$\frac{1}{4}$，
∴AE=$\frac{5}{2}$；
（2）①四边形AEMF为菱形．理由如下：
如图②，∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点M处，
∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE，
∵MF∥AC，
∴∠AEF=∠MFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AE=EM=MF=AF，
∴四边形AEMF为菱形；
②连结AM交EF于点O，如图②，
设AE=x，则EM=x，CE=4-x，
∵四边形AEMF为菱形，
∴EM∥AB，
∴△CME∽△CBA，
∴$\frac{CM}{CB}$=$\frac{CE}{CA}$=$\frac{EM}{AB}$，即$\frac{CM}{3}$=$\frac{4-x}{4}$=$\frac{x}{5}$，解得x=$\frac{20}{9}$，CM=$\frac{4}{3}$，
在Rt△ACM中，AM=$\sqrt{A{C}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$，
∵S_菱形AEMF=$\frac{1}{2}$EF•AM=AE•CM，
∴EF=2×$\frac{\frac{4}{3}×\frac{20}{9}}{\frac{4\sqrt{10}}{3}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{9}$；
（3）如图③，作FH⊥BC于H，
∵EC∥FH，
∴△NCE∽△NFH，
∴CN：NH=CE：FH，即1：NH=$\frac{4}{7}$：FH，
∴FH：NH=4：7，
设FH=4x，NH=7x，则CH=7x-1，BH=3-（7x-1）=4-7x，
∵FH∥AC，
∴△BFH∽△BAC，
∴BH：BC=FH：AC，即（4-7x）：3=4x：4，解得x=$\frac{2}{5}$，
∴FH=4x=$\frac{8}{5}$，BH=4-7x=$\frac{6}{5}$，
在Rt△BFH中，BF=$\sqrt{（\frac{6}{5}）^{2}+（\frac{8}{5}）^{2}}$=2，
∴AF=AB-BF=5-2=3，
∴$\frac{AF}{BF}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了三角形的综合题：熟练掌握折叠的性质和菱形的判定与性质；灵活构建相似三角形，运用勾股定理或相似比表示线段之间的关系和计算线段的长．解决此类题目时要各个击破．