Question

15．如图1，已知∠ABC=90°，动点P在射线BC上（点P与点B不重合）移动，△ABE与△APQ均是等边三角形，连结QE并延长交射线BC于点F．
（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF=30°，猜想∠QFC=60°；
（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；
（3）已知线段AB=2$\sqrt{3}$，设BP=x，点Q到射线BC的距离为y，请用含x的代数式表示y，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质求出∠EBF，并猜想∠QFC的度数；
（2）根据三角形的外角等于不相邻的两内角的和，证明∠BAP=∠EAQ，进而得到△ABP≌△AEQ，证得∠AEQ=∠ABP=90°，则∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，∠QFC=∠EBF+∠BEF；
（3）过点F作FG⊥BE于点G，过点Q作QH⊥BC，根据△ABP≌△AEQ得到：设QE=BP=x，则QF=QE+EF=x+2．点Q到射线BC的距离y=QH=sin60°×QF，列出关系式．

解答 解：（1）∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABE=60°，
∴∠EBF=∠ABC-∠ABE=30°，
猜想得，∠QFC=60°，
故答案为：30；60；
（2）∠QFC=60°．
∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP，∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP，
∴∠BAP=∠EAQ，
在△ABP和△AEQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAP=∠EAQ}\\{AP=AQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△AEQ （SAS）　
∴∠AEQ=∠ABP=90°
∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，
∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=30°+30°=60°；
（3）在图1中，过点F作FG⊥BE于点G，点Q作QH⊥BC，垂足为H，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2$\sqrt{3}$．
由（1）得∠EBF=30°．
又∵∠QFC=60°
∴∠EBF=∠BEF，
∴BF=EF，
∵FG⊥BE
∴BG=$\frac{1}{2}$BE=$\sqrt{3}$，
∴BF=2，
∵Rt△ABP≌Rt△AEQ，
∴QE=BP=x，
则QF=QE+EF=x+2．
过点Q作QH⊥BC，垂足为H．
在Rt△QHF中，y=QH=sin60°×QF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x+2），
即y关于x的函数关系式是：y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的概念，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．