Question

在平面直角坐标系中，O为原点，点A（2，0），直线l是OA的垂直平分线，点E，点F，点M都在直线l上且点E和点F关于点M对称．
（1）如图1，若EA∥OF，请你求出点M的坐标；
（2）若直线EA与直线OF交于点P，点M坐标为（1，-1）；
①当点F坐标为（1，1）时，E的坐标为

 

；
②求点P的坐标；
（3）若第（2）问条件不变，点F在直线l上运动，设点F（1，t），则直线EA与直线OF交于点P的坐标为

 

．（用含t的代数式表示）

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）设OA和l交于点N，根据条件可证明△OFN≌△AEN，可得ON=NA，结合条件可知N点即为M，由A点的坐标可求得M点的坐标；
（2）①根据对称点到对称中心的距离相等可求得E点坐标；
②可求得直线OF、EA的解析式，联立两解析式可求得P点坐标；
（3）同（2）的方法可先表示出E点的坐标，再求得直线OF、EA的解析式，可解得P的坐标．

解答：解：（1）设OA和l交于点N，
∵OF∥AE，
∴∠FON=∠EAN，
∵l垂直平分OA，
∴ON=AN，
在△OFN和△AEN中，

∠FON=∠EAN ON=AN ∠FNO=∠ANE

，
∴△OFN≌△AEN（ASA），
∴FN=NE，
∵E、E关于M对称，
∴FM=ME，
∴N点即为M，
∴M点坐标为（1，0）；
（2）①当F点坐标为（1，1），M点坐标为（1，-1），
∴EM=FM=1-（-1）=2，
∴E点坐标为（1，-3），
故答案为：（1，-3）；
②设直线OF为y=kx，由F点坐标为（1，1），可求得k=1，∴直线OF解析式为y=x；
设直线AE为y=mx+n，由A（2，0），E（1，-3），代入可求得m=-3，n=6，∴直线AE解析式为y=3x-6，
联立两函数解析式可得

y=x y=3x-6

，解得

x=3 y=3

，
∴P点坐标为（3，3）；
（3）设E点坐标为（1，s），
∵F（1，t），M（1，-1），
∴EM=FM=t-（-1）=t+1，
即-1-s=t+1，解得s=-t-2，
∴E点坐标为（1，-t-2），
设直线OF为y=kx，F坐标为（1，t），代入可求得k=t，∴直线OF解析式为y=tx，
设直线AE为y=mx+n，由A（2，0）、E（1，-t-2），代入可求得m=t+2，n=-2t-4，∴直线AE解析式为y=（t+2）x-2t-4，
联立两函数解析式可得

y=tx y=(t+2)x-2t-4

，解得

x=t+2 y=t2+2t

，
∴P点坐标为（t+2，t²+2t），
故答案为：（t+2，t²+2t）．

点评：本题主要考查垂直平分线及对称的性质及待定系数法求函数解析式、函数交点坐标等知识的综合应用，在（1）中确定中M点为OA的中点是解题的关键，在（2）中利用对称的性质求得E点的坐标是解题的关键，在（3）中用t表示出两直线的解析式是解题的关键．本题难度不大，属于基础知识的综合，较易得分．