Question

2．已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA匀速移动，当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动，DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．
解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式，是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由；
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）因为点A在线段PQ垂直平分线上，所以得到线段相等，可得CE=CQ，用含t的式子表示出这两个线段即可得解；
（2）作PM⊥BC，将四边形的面积表示为S_△ABC-S_△BPE即可求解；
（3）假设存在符合条件的t值，由相似三角形的性质即可求得．

解答 解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，
∴AP=AQ；
∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°，
∴∠EQC=45°；
∴∠DEF=∠EQC；
∴CE=CQ；
由题意知：CE=t，BP=2t，
∴CQ=t；
∴AQ=8-t；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm；
则AP=10-2t；
∴10-2t=8-t；
解得：t=2；
答：当t=2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上；

（2）如图1，过P作PM⊥BE，交BE于M，
∴∠BMP=90°；
在Rt△ABC和Rt△BPM中，sinB=$\frac{AC}{AB}$，
∴$\frac{PM}{2t}$=$\frac{8}{10}$，
∴PM=$\frac{8}{5}$t，
∵BC=6cm，CE=t，∴BE=6-t，
∴y=S_△ABC-S_△BPE=$\frac{1}{2}$BC•AC-$\frac{1}{2}$BE•PM=$\frac{1}{2}$6×8-$\frac{1}{2}$（6-t）×$\frac{8}{5}$t
=$\frac{4}{5}$t²-$\frac{24}{5}$t+24=$\frac{4}{5}$（t-3）²+$\frac{84}{5}$，
∵a=$\frac{4}{5}$，
∴抛物线开口向上；
∴当t=3时，y_最小=$\frac{84}{5}$；
答：当t=3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为$\frac{84}{5}$cm²．

（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上；
如图2，过P作PN⊥AC，交AC于N
∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°；
∵∠PAN=∠BAC，
∴△PAN∽△BAC，
∴$\frac{PN}{BC}=\frac{AP}{AB}=\frac{AN}{AC}$，
∴$\frac{PN}{6}=\frac{10-2t}{10}=\frac{AN}{8}$，
∴PN=6-$\frac{6}{5}$tAN=8-$\frac{8}{5}$t，
∵NQ=AQ-AN，
∴NQ=8-t-（8-$\frac{8}{5}$）=$\frac{3}{5}$，
∵∠ACB=90°，B、C、E、F在同一条直线上，
∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ；
∵∠FQC=∠PQN，
∴△QCF∽△QNP；
∴$\frac{PN}{FC}=\frac{NQ}{CQ}$，∴$\frac{6-\frac{6}{5}t}{9-t}$=$\frac{\frac{3}{5}t}{t}$；
∵0＜t＜4.5，∴$\frac{6-\frac{6}{5}t}{9-t}$=$\frac{3}{5}$；
解得：t=1；
答：当t=1s，点P、Q、F三点在同一条直线上．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、特殊图形的面积的求法等知识，图形较复杂，考查学生数形结合的能力，综合性强，难度较大．