Question

【题目】在正方形中，为对角线上任意一点（不与重合）连接，过点M作交（或的延长线）于点，连接．

感知：如图①，当M为中点时，容易证（不用证明）；

探究：如图②，点M为对角线上任意一点（不与重合）请探究与的数量关系，并证明你的结论．

应用：（1）直接写出的面积S的取值范围；

（2）若，则与的数量关系是_____________．

Answer 1

【答案】探究：CM=MN，证明见解析；（1）9≤S＜18；（2）AN=6BN．

【解析】

探究：如图，过M分别做ME//AB交BC于点E，MF//BC交AB于点F，证明△MFN≌△MEC即可解决．

（1）求出△MNC面积的最大值以及最小值便可解决．

（2）利用平行线分线段成比例定理求出AN，BN即可解决．

探究；如图，

过M分别做ME//AB交BC于E,MF//BC交AB于F．

则四边形BEMF是平行四边形

∵四边形ABCD是正方形

∴∠ABC= ,∠ABD=∠CBD=∠BME=

∴ME=BE

∴平行四边形BEMF是正方形

∴ME=MF

∵CM⊥MN

∴∠CMN=

∴∠FME=

∴∠CME=∠FMN

∴△MFN≌△MEC（ASA）

∴MN=MC

应用：

（1）当点M与D重合时，△CNM的面积最大，最大为18.

当DM=BM时，△CNM的面积最小，最小值为9

综上所述：9≤S＜18

（2）如图所示

由（1）得FM//AD，EM//CD，

∴

∵AN=BC=6

∴AF=3.6,CE=3.6

∵△MFN≌△MEC

∴FN=EC=3.6

∴AN=7.2,BN=7.2-6=1.2

∴AN=6BN．