Question

△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，P是AC的中点，Q在AB上，且△APQ与△ABC相似，则AQ的长为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的性质

专题：

分析：由△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，P是AC的中点，可求得AP的长，由△APQ与△ABC相似，可分别从△PAQ∽△PCB或△PAQ∽△PBC去分析，利用相似三角形的性质与等腰直角三角形的性质，即可求得答案．

解答：解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴∠A=45°，
∵P是AC的中点，
∴PA=2，
若△PAQ∽△PCB，
则∠QPA=∠ACB=90°，
∴∠PQA=∠A=45°，
∴PQ=PA=2，
∴AQ₁=

2

PA=2

2

，
若△PAQ∽△PBC，
在∠AQP=∠ACB=90°，
∴AQ₂=PQ₂=

2

2

PA=

2

，
∴AQ的长为：2

2

或

2

．
故答案为：2

2

或

2

．

点评：此题考查了相似三角形的性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．