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已知:如图1,△OAB是边长为2的等边三角形,OAx轴上,点B在第一象限内;△OCA是一个等腰三角形,OCAC,顶点C在第四象限,∠C=120°.现有两动点PQ分别从AO两点同时出发,点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动,点P以每秒3个单位的速度沿AOB运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停止.

(1)求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系,并写出自变量t的取值范围;

(2)在OA上(点OA除外)存在点D,使得△OCD为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点D的坐标;

(3)如图2,现有∠MCN=60°,其两边分别与OBAB交于点MN,连接MN.将∠MCN绕着C点旋转(0°<旋转角<60°),使得MN始终在边OB和边AB上.试判断在这一过程中,△BMN的周长是否发生变化?若没有变化,请求出其周长;若发生变化,请说明理由.

 

【答案】

(1)当时,,当时,(2)  (3)的周长不发生变化,周长为4

【解析】(1)过点CCDOA于点D. ……………………………………1分

OC=AC,∠ACO=120°,∴∠AOC=∠OAC=30°.

      ∵, ∴

   在Rt中,  ………………………2分

 (1)当时,,,

过点于点

     在Rt中,∵,∴,……………………3分

  即 .……………………………………………………………4分

   (2)当时,

.……………………………………………………5分

,∴

.………………………………………………………………6分

故当时,,当时,

(2)         ……………………………………………8分

(3)的周长不发生变化.

延长至点,使,连结.………………………………9分

,∴

  …………………………………………10分

       ∴

        ∴. 又∵

   ∴.∴   ……………………………………11分

的周长不变,其周长为4   ……………………………………12分

(1)分P点在AO、BO边两种情况进行讨论;

(2)分OD=OC、CD=CD两种情况进行讨论;

(3)利用等量代换得出三个边之和为一定值,说明的周长不变。

 

练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

24、有这样一道习题:如图1,已知OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任一点(不与O、A重合),BP的延长线交⊙O于Q,过Q点作⊙O的切线交OA的延长线于R.说明:RP=RQ.
请探究下列变化:
变化一:交换题设与结论.
已知:如图1,OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任一点(不与O、A重合),BP的延长线交⊙O于Q,R是OA的延长线上一点,且RP=RQ.
求证:RQ为⊙O的切线.
变化二:运动探究:
(1)如图2,若OA向上平移,变化一中的结论还成立吗?(只需交待判断)
(2)如图3,如果P在OA的延长线上时,BP交⊙O于Q,过点Q作⊙O的切线交OA的延长线于R,原题中的结论还成立吗?为什么?
(3)若OA所在的直线向上平移且与⊙O无公共点,请你根据原题中的条件完成图4,并判断结论是否还成立?(只需交待判断)

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科目:初中数学 来源: 题型:

已知:如图,射线OA和点P.
(1)作射线OP;
(2)过点P作PM⊥OP,与OA交于点M;
(3)过点P作PN⊥OA,垂足为N;
(4)图中线段
PN
PN
的长表示点P到射线OA所在直线的距离.

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科目:初中数学 来源: 题型:

有这样一道习题:已知:如图1,OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任一点(不与O、A重合),BP的延长线交⊙O于Q,R是OA的延长线上一点,且RP=RQ.说明:RQ为⊙O的切线. (无须证明)

  请探究下列变化:

  变化一:交换题设与结论.

如图1,已知OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任一点(不与O、A重合),BP的延长线交⊙O于Q,过Q点作⊙O的切线交OA的延长线于R.说明:RP=RQ.(要证明)

 

     

 

  变化二:运动探求.

  (1)如图2,若OA向上平移,变化一中的结论还成立吗?(只需交待判断) 答:_________.

  (2)如图3,如果P在OA的延长线上时,BP交⊙O于Q,过点Q作⊙O的切线交OA的延长线于R,变化一中的结论还成立吗?为什么?

 

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科目:初中数学 来源:2011-2012学年江苏省苏州市九年级10月月考数学卷 题型:解答题

(本题满分12分)有这样一道习题:已知:如图1,OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任一点(不与O、A重合),BP的延长线交⊙O于Q,R是OA的延长线上一点,且RP=RQ.说明:RQ为⊙O的切线. (无须证明)

  请探究下列变化:

  变化一:交换题设与结论.

如图1,已知OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任一点(不与O、A重合),BP的延长线交⊙O于Q,过Q点作⊙O的切线交OA的延长线于R.说明:RP=RQ.(要证明)

 

     

 

  变化二:运动探求.

  (1)如图2,若OA向上平移,变化一中的结论还成立吗?(只需交待判断) 答:_________.

  (2)如图3,如果P在OA的延长线上时,BP交⊙O于Q,过点Q作⊙O的切线交OA的延长线于R,变化一中的结论还成立吗?为什么? 来]

 

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科目:初中数学 来源:2011年江苏省苏州市九年级上学期月考数学卷 题型:解答题

有这样一道习题:已知:如图1,OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任一点(不与O、A重合),BP的延长线交⊙O于Q,R是OA的延长线上一点,且RP=RQ.说明:RQ为⊙O的切线. (无须证明)

  请探究下列变化:

  变化一:交换题设与结论.

如图1,已知OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任一点(不与O、A重合),BP的延长线交⊙O于Q,过Q点作⊙O的切线交OA的延长线于R.说明:RP=RQ.(要证明)

 

     

 

  变化二:运动探求.

  (1)如图2,若OA向上平移,变化一中的结论还成立吗?(只需交待判断) 答:_________.

  (2)如图3,如果P在OA的延长线上时,BP交⊙O于Q,过点Q作⊙O的切线交OA的延长线于R,变化一中的结论还成立吗?为什么?

 

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