Question

【题目】如图，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线与抛物线交于两点，其中点的横坐标为2．

（1）求A，B两点的坐标及直线AC的表达式；

（2）P是线段AC上一动点（P与A，C不重合），过点P作轴的平行线交抛物线于点E，求面积的最大值；

（3）点H是抛物线上一动点，在轴上是否存在点F，使得四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在请直接写出所有满足条件的点F坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(1，0)，B(3，0)，；（2）面积的最大值为；（3）存在，，．

【解析】

（1）令抛物线y=x2-2x-3=0，求出x的值，即可求A，B两点的坐标，根据两点式求出直线AC的函数表达式；
（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2），求出P、E的坐标，用x表示出线段PE的长，求出PE的最大值，进而求出△ACE的面积最大值；
（3）结合图形，分两类进行讨论，①CF平行x轴，如图1，此时可以求出F点两个坐标；②CF不平行x轴，如题中的图2，此时可以求出F点的两个坐标．

（1）令y=0，解得x1=-1或x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3得y=-3，
∴C（2，-3），

设直线AC的解析式为：y=kx+b，

把A（-1，0），C（2，-3）代入直线解析式得，

解得，

∴直线AC的函数解析式是y=-x-1，
（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2），
则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（x，x2-2x-3），
∵P点在E点的上方，PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x2+x+2=-（x-）2+，
∴当x=时，PE的最大值=，
△ACE的面积最大值=PE[2-（-1）]= PE=，
（3）存在，如图1，若AF∥CH，此时的D和H点重合，CD=2，则AF=2，

于是可得F1（1，0），F2（-3，0），
如图2，根据点A和F的坐标中点和点C和点H的坐标中点相同，

再根据

求出

综上所述满足条件的点F的坐标为，．