【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,点D是的中点,过点D作⊙O的切线,与AB、AC的延长线分别交于点E、F,连接AD.
(1)求证:AF⊥EF.
(2)直接回答:
①已知AB=2,当BE为何值时,AC=CF?
②连接BD、CD、OC,当∠E等于多少度时,四边形OBDC是菱形?
【答案】(1)证明见解析;(2)①当BE=2时,AC=CF;②当∠E=30°时,四边形OBDC是菱形.
【解析】
(1)连接OD,由点D是弧BC的中点,过点D作⊙O的切线,可得OD⊥EF,AF∥OD,进而得出AF⊥EF;
(2)①当BE=2时,连接BC,证明△ACB∽△AFE,所以,即AC=CF;
②当∠E=30°时,证明△ODB,△AOC,△COD为等边三角形,所以OB=BD=OD=CD=OC,即四边形OBDC是菱形.
解:(1)如图1,连接OD,
∵点D是弧BC的中点,过点D作⊙O的切线,
∴OD⊥EF,∠CAD=∠DAB,
∵OD=OA,
∴∠DAB=∠ADO,
∴∠CAD=∠ADO,
∴AF∥OD,
∴AF⊥EF.
(2)①当BE=2时,AC=CF.
如图2,连接BC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵AF⊥EF,
∴∠ACB=∠F=90°,
∴BC∥EF,
∴△ACB∽△AFE,
∴,
∴AC=CF.
②当∠E=30°时,四边形OBDC是菱形.
如图3,∵过点D作⊙O的切线,
∴∠ODE=∠F=90°,
∴∠DOE=∠CAO=60°,
∵OD=OB=OC=OA,
∴△ODB,△AOC为等边三角形,
∴∠COA=∠DOB=60°,
∴∠COD=60°,
∴△COD为等边三角形,
∴OB=BD=OD=CD=OC,
∴四边形OBDC是菱形.
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【题目】若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从1,2,3,4这四个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数.
(1)请画出树状图并写出所有可能得到的三位数;
(2)甲、乙二人玩一个游戏,游戏规则是:若组成的三位数是“伞数”,则甲胜;否则乙胜.你认为这个游戏公平吗?试说明理由.
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【题目】已知,
,
,斜边
,将
绕点
顺时针旋转
,连接
.
(1)如图,连接,作
,垂足为
,求
的面积和线段
的长;
(2)如图,点是线段
的中点,点
是线段
上的动点(不与点
重合),求
周长的最小值.
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【题目】已知:如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径,点D是弧AC的中点,连结BD交AC于点E,过D点作⊙O的切线交BC的延长线于F.
(1)求证:∠FDB = ∠AED.
(2)若⊙O 的半径为5,tan∠FBD=,求CF的长.
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【题目】如图,在Rt△OAB中,OA=AB,∠OAB=90°,点P从点O沿边OA、AB匀速运动到点B,过点P作PC⊥OB交OB于点C,线段AB=2,OC=x,S△POC=y,则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是( )
A. B.
C. D.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.
(1)用尺规在边BC上求作一点P,使PA=PB(不写作法,保留作图痕迹);
(2)连接AP,若AP平分∠CAB,求∠B的度数.
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【题目】如图,二次函数的图像与坐标轴交于点A(1, 0)和点C.经过点A的直线
与二次函数图像交于另一点B,点B与点C关于二次函数图像的对称轴对称.
(1)求一次函数表达式;
(2)点P在二次函数图像的对称轴上,当△ACP的周长最小时,请求出点P的坐标.
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【题目】如图,某塔观光层的最外沿点E为蹦极项目的起跳点.已知点E离塔的中轴线AB的距离OE为10米,塔高AB为123米(AB垂直地面BC),在地面C处测得点E的仰角α=45°,从点C沿CB方向前行40米到达D点,在D处测得塔尖A的仰角β=60°,求点E离地面的高度EF.(结果精确到0.1米)
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