Question

【题目】已知：在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2 -2ax+4(a<0) 交 x 轴于点 A、B，与 y 轴交于点 C，AB=6．

（1）如图 1，求抛物线的解析式；

（2） 如图 2，点 R 为第一象限的抛物线上一点，分别连接 RB、RC，设△RBC 的面积为 s，点 R 的横坐标为 t，求 s 与 t 的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，如图 3，点 D 在 x 轴的负半轴上，点 F 在 y 轴的正半轴上，点 E 为 OB 上一点，点 P 为第一象限内一点，连接 PD、EF，PD 交 OC 于点 G，DG=EF，PD⊥EF，连接 PE，∠PEF=2∠PDE，连接 PB、PC，过点R 作 RT⊥OB 于点 T，交 PC 于点 S，若点 P 在 BT 的垂直平分线上，OB-TS=，求点 R 的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）R（2，4）或R（，）

【解析】

（1）先求出抛物线的对称轴，再根据A、B关于抛物线对称轴对称和AB的长即可求出A、B的坐标，然后代入解析式即可；

（2）过点R作x轴的垂线，交BC于点M，根据题意可得点R的坐标为，点M的横坐标为t,然后求出点C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式，即可求出点M的坐标，最后利用“铅垂高，水平宽”即可求出结论；

（3）设PG与EF交于点H，连接EG，设R点的坐标为，则OT=t，根据题意求出点S的坐标，即可求出直线SC的解析式，然后根据全等三角形的判定及性质、垂直平分线的判定、三线合一证出OP平分∠EOG，可得点P的横纵坐标相等，再结合已知条件即可求出点P的坐标，代入直线SC的解析式即可求出t，从而求出点R的坐标．

解：（1）抛物线 y=ax2 -2ax+4(a<0)的对称轴为x=

∵AB=6，A、B关于x=1对称

∴点A的横坐标为1－=-2，点B的横坐标为1＋=4

∴点A的坐标为（-2,0），点B的坐标为（4,0）

将点A的坐标代入y=ax2 -2ax+4中，得

0=4a＋4a＋4

解得：a=

∴抛物线的解析式为；

（2）过点R作x轴的垂线，交BC于点M

∵点 R 的横坐标为 t

∴点R的坐标为，点M的横坐标为t

将x=0代入中，解得y=4

∴点C的坐标为（0,4）

设直线BC的解析式为y=kx＋b

将点B、C的坐标代入，得

解得：

∴直线BC的解析式为y=-x＋4

∴点M的坐标为（t，-t＋4）

∴RM=

∴s=RM·（xB－xC）=·（4－0）=

（3）设PG与EF交于点H，连接EG

设R点的坐标为，则OT=t

∵OB-TS=，OB=4

∴TS=

∴点S的坐标为（t，）

设直线SC的解析式为：y=mx＋n

将S、C的坐标代入，得

解得：

∴直线SC的解析式为

∵∠DOG=∠FOE=∠DHE=90°

∴∠ODG＋∠HEO=90°，∠OFE＋∠HEO=90°

∴∠ODG=∠OFE

∵DG=FE

∴△ODG≌△OFE

∴OG=OE，

∴点O在GE的中垂线上，△OGE为等腰直角三角形

∴∠GEO=∠OGE=45°

∴∠PGE=∠GEO＋∠PDE=45°＋∠PDE，∠FEG=∠OGE－∠OFE=45°－∠PDE

∵∠PEF=2∠PDE

∴∠PEG=∠PEF＋∠FEG=2∠PDE＋45°－∠PDE=45°＋∠PDE

∴∠PGE=∠PEG

∴PG=PE

∴点P在EG的中垂线上

∴OP垂直平分EG

∴OP平分∠EOG

∴点P的横、纵坐标相等

∵点 P 在 BT 的垂直平分线上

∴点P的坐标为（）

将点P的坐标代入直线SC的解析式中，得

解得：

经检验：均为原方程的解

当t=2时，点R的坐标为（2,4）；

当t=时，点R的坐标为（，）

综上所述：R（2，4）或R（，）