【题目】已知,点A为⊙0外一点,过A作⊙O的切线与⊙O相切于点P,连接PO并延长至圆上一点B连接AB交⊙O于点C,连接OA交⊙O于点D连接DP且∠OAP=∠DPA。
(1)求证:PO=PD
(2)若AC=,求⊙O的半径。
【答案】(1)见解析;(2)半径.
【解析】
(1)设∠OAP=∠DPA=x,根据三角形外角的性质和切线的性质,分别表示出∠ODP和∠OPD,根据∠OPD=∠ODP可求出x=30°,易得△ODP是等边三角形,结论得证;
(2)设半径为r,则AP=,然后用勾股定理求得,最后根据切割线定理列出方程求解即可.
解:(1)设∠OAP=∠DPA=x,则∠ODP=2x,
∵PA为切线,
∴∠OPA=90°,
∴∠OPD=90°-x,
∵∠OPD=∠ODP,
∴90°-x=2x,
解得:x=30°,
∴∠ODP=∠OPD=90°-x=60°,
∴△ODP是等边三角形,
∴PO=PD;
(2)设半径为r,
由(1)得∠OAP=30°,
∴AP=,
∴,
由切割线定理可得:AP2=AC·AB,即,
解得:.
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【题目】如图,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,点P为射线BD,CE的交点.
(1)问题提出:如图1,若AD=AE,AB=AC.
①∠ABD与∠ACE的数量关系为 ;②∠BPC的度数为 .
(2)猜想论证:如图2,若∠ADE=∠ABC=30°,则(1)中的结论是否成立?请说明理由.
(3)拓展延伸:在(1)的条件中,若AB=2,AD=1,若把△ADE绕点A旋转,当∠EAC=90°时,直接写出PB的长.
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【题目】某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究,探究过程如下.
(1)补全下表,在所给坐标系中画出函数的图象:
x | … | ﹣3 | ﹣ | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … | |
y | … | 3 | 0 | ﹣1 | 0 | … |
(2)观察图象,写出该函数两条不同类型的性质;
(3)进一步探究函数图象发现:
①函数图象与x轴有 个交点,所以对应方程x2﹣2|x|=0有 个实数根;
②方程x2﹣2|x|=2有 个实数根;
③关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根,a的取值范围是 .
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【题目】如图,已知线段AB=9,点C为线段AB上一点,AC=3,点D为平面内一动点,且满足CD=3,连接BD将BD绕点D逆时针旋转90到DE,连接BE、AE,则AE的最大值为 ________。
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【题目】已知:如右图,O为圆锥的顶点,M为底面圆周上一点,点P在OM上,一只蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的最短路径的痕迹如图.若沿OM将圆锥侧面剪开并展平,所得侧面展开图是( )
A.B.
C.D.
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【题目】⑴ 问题发现
⑴ 如图1,△ABC和△CDE均为等边三角形,直线AD和直线BE交于点F.
填空:①的度数是________;②线段AD,BE之间的数量关系为________;
⑵ 类比探究
如图2,△ABC和△CDE均为等腰直角三角形,,,,直线AD和直线BE交于点F.请判断的度数及线段AD,BE之间的数量关系,并说明理由.
⑶ 解决问题
如图3,在△ABC中,,,,点D在AB边上,于点E,,将△ADE绕着点A在平面内旋转,请直接写出直线DE经过点B时,点C到直线DE的距离.
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【题目】某电子厂商投产一种新型电子产品,每件制造成本为18元,试销过程中发现,每月销售量(万件)与销售单价(元)之间的关系可以近似地看作一次函数(利润=售价﹣制造成本)
(1)写出每月的利润(万元)与销售单价(元)之间的函数关系式;
(2)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于40元,如果厂商每月的制造成本不超过540万元,那么当销售单价为多少元时,厂商每月获得的利润最大?最大利润为多少万元?
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