Question

18．如图，在平面直角坐标系中，矩形DOBC的顶点O与坐标原点重合，B、D分别在坐标轴上，点C的坐标为（6，4），反比例函数y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△OEF的面积；
（3）设直线EF的解析式为y=k₂x+b，请结合图象直接写出不等式k₂x+b＞$\frac{{k}_{1}}{x}$的解集．

Answer 1

分析 （1）先利用矩形的性质确定C点坐标（6，4），再确定A点坐标为（3，2），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k₁=6，即反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$；
（2）利用反比例函数解析式确定F点的坐标为（6，1），E点坐标为（$\frac{3}{2}$，4），然后根据△OEF的面积=S_矩形BCDO-S_△ODE-S_△OBF-S_△CEF进行计算；
（3）观察函数图象得到当$\frac{3}{2}$＜x＜6时，一次函数图象都在反比例函数图象上方，即k₂x+b＞$\frac{{k}_{1}}{x}$．

解答 解：（1）∵四边形DOBC是矩形，且点C的坐标为（6，4），
∴OB=6，OD=4，
∵点A为线段OC的中点，
∴A点坐标为（3，2），
∴k₁=3×2=6，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$；

（2）把x=6代入y=$\frac{6}{x}$得y=1，则F点的坐标为（6，1）；
把y=4代入y=$\frac{6}{x}$得x=$\frac{3}{2}$，则E点坐标为（$\frac{3}{2}$，4），
△OEF的面积=S_矩形BCDO-S_△ODE-S_△OBF-S_△CEF
=4×6-$\frac{1}{2}$×4×$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$×6×1-$\frac{1}{2}$×（6-$\frac{3}{2}$）×（4-1）
=$\frac{45}{4}$；

（3）由图象得：不等式不等式k₂x+b＞$\frac{{k}_{1}}{x}$的解集为$\frac{3}{2}$＜x＜6．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法确定函数解析式．