Question

已知：点E、F、G、H依次是四边形ABCD各边的中点，如果四边形EFGH是正方形．解答下列问题：
（1）四边形ABCD应满足什么条件？
（2）画出满足这个条件的图形，再写出已知，求证，并证明你的结论．

Answer 1

分析：正方形是特殊的矩形，同时也是特殊的菱形，根据定理可以推导出来．

解答：解：（1）四边形ABCD应是对角线垂直且相等的四边形．

（2）已知：E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点，四边形EFGH是正方形．
求证：四边形ABCD是对角线垂直且相等的四边形．
证明：由题中E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点，根据三角形中位线定理知四边形EFGH为平行四边形．
∵EFGH是正方形
∴EF=GF=

1

2

AC=

1

2

BD，且∠EFG=90°
∴AC=BD且AC⊥BD．
即四边形ABCD是对角线垂直且相等的四边形．

点评：本题主要考查正方形的判定和三角形的中位线定理，注意运用逆向思维，由结果推出已知．