分析 (1)直接用等腰三角形和直角三角形的性质表示出∠DAE=90°-2α,∠CBE=90°-3α,即可得出结论.
(2)作BF⊥AD于F,如图,由旋转的性质得BA=BD,∠ABD=2α,则根据等腰三角形的性质得到BF⊥AD,BF平分∠ABD,AF=DF,再利用“AAS”证明△ABC≌△ABF,得到AF=BC,即可得出AD=2BCM,在Rt△BCE中,得出BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE,即可得出结论;
(3)借助(1)(2)的结论,得出BE=2BC,根据正弦的定义可计算出∠CBE=60°,即可得出结论.
解答 解:(1)在Rt△ABC中,∠CAB=α,
∴∠ABC=90°-α,
∵∠ABD=2α,
∵AB=BD,
∴∠DAB=$\frac{1}{2}$(180°-∠ABD)=90°-α,
∴∠DAE=∠DAB-∠BAC=90°-α-α=90°-2α
∵∠CBE=90°-α-2α=90°-3α;
∴3∠DAE-2∠CBE=90°,
(2)作BF⊥AD于F,如图,
∵边AB绕点B按顺时针方向旋转2α得到DB,
∴BA=BD,∠ABD=2α,
∴BF⊥AD,BF平分∠ABD,AF=DF=$\frac{1}{2}$AD,
∴∠ABF=α,
在△ABC和△ABF中,$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠AFB}\\{∠BAC=∠ABF}\\{AB=BA}\end{array}\right.$
,∴△ABC≌△ABF(AAS),
∴AF=BC,
∴AD=2AF=2BC
当α=15°时,∠CBE=90°-3α=45°,
在Rt△BCE中,BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE,
∴AD=2BC=$\sqrt{2}$BE,
∵AD=kBE,
∴k=$\sqrt{2}$,
(3)当k=1时,AD=BE,
由(2)知,AD=2BC,
∴BE=2BC,
在Rt△BCE中,cos∠CBE=$\frac{BC}{BE}=\frac{1}{2}$,
∴∠CBE=60°,
由(1)知,∠CBE=90°-3α=60°
∴α=10°.
点评 此题是三角形综合题,主要考查了直角三角形的性质,等腰三角形的性质,三角形的内角和公式,全等三角形的判定和性质,锐角三角函数,解本题的关键是得出 AD=2BC.
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三角形 | 角的已知量 | $\frac{a}{b}$ | $\frac{b+c}{a}$ |
图2 | ∠A=2∠B=90° | $\sqrt{2}$ | $\sqrt{2}$ |
图3 | ∠A=2∠B=60° | $\sqrt{3}$ | $\sqrt{3}$ |
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