Question

（2013•湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为

2

和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．
（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；
（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质可得AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF，再利用“边角边”证明△AOD和△COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）与（1）同理求出CF=AD，连接DF交OE于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF⊥OE，DG=OG=

1

2

OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD．

解答：解：（1）AD=CF．
理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，
∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，
即∠AOD=∠COF，
在△AOD和△COF中，

AO=CO ∠AOD=∠COF OD=OF

，
∴△AOD≌△COF（SAS），
∴AD=CF；

（2）与（1）同理求出CF=AD，
如图，连接DF交OE于G，则DF⊥OE，DG=OG=

1

2

OE，
∵正方形ODEF的边长为

2

，
∴OE=

2

×

2

=2，
∴DG=OG=

1

2

OE=

1

2

×2=1，
∴AG=AO+OG=3+1=4，
在Rt△ADG中，AD=

AG2+DG2

=

42+12

=

17

，
∴CF=AD=

17

．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟练掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键，（2）作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．