Question

如图．在平面直角坐标系中，边长为的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E．
（1）求证：△OAD≌△EAB；
（2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式；
（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，其关于直线BF的对称点在x轴上？若有，求出点P的坐标；
（4）连接OE，若点M是直线BF上的一动点，且△BMD与△OED相似，求点M的坐标．

Answer 1

（1）证明：如答图1所示，连接ID，IO，

∵I为△BOD的外心，∴IO=ID，
又F为OD的中点，∴IF⊥OD．
∴∠DEF+∠FDE=∠AEB+∠ABE=90°，又∠DEF=∠AEB，
∴∠FED=∠EBA．而DA=BA，且∠OAD=∠EAB=90°，
∴△OAD≌△EAB．

（2）解：由（1）知IF⊥OD，又BF为中线，
∴BO=BD=AB=2，
∴OA=BO-AB=2-．
由（1）知△OAD≌△EAB，∴AE=OA=2-，
∴E（2-，2-），B（2，0）．
设过点O、B、E的抛物线解析式为y=ax²+bx，
则有，
解得，
∴抛物线的解析式为：y=x²+x．

（3）解：∵直线BD与x轴关于直线BF对称，
∴抛物线与直线BD的交点，即为所求之点P．
由（2）可知，B（2，0），D（2-，），可得直线BD的解析式为y=-x+2．
∵点P既在直线y=-x+2上，也在抛物线y=x²+x上，
∴-x+2=x²+x，解此方程得：x=2或x=，
当x=2时，y=-x+2=0；当x=时，y=-x+2=2-，
∴点P的坐标为（2，0）（与点B重合），或（，2-）．

（4）解：∵DBO=45°，BD=BO，BF⊥OD，
∴∠EBA=22.5°，由（1）知∠ODA=22.5°，故∠DOA=67.5°，OA=EA，
∴∠EOA=45°，∠DOE=22.5°，即△OED是顶角为135°的等腰三角形．
若△BMD与△OED相似，则△BMD必须是等腰三角形．
如答图2所示，在直线BF上能使△BMD为等腰三角形的点M有4个，分别记为M₁，M₂，M₃，M₄，其中符合题意的是点M₁，M₃．

∵DM₁=DB=2，OA=2-，∴M₁（-，）．
由（1）知B（2，0），E（2-，2-），故直线BE的解析式为y=（1-）x-2+2．
I是△BOD的外心，它是OB的垂直平分线x=1与OD的垂直平分线BE的交点，
∴I（1，-1），即M₃（1，-1）．
故符合题意的M点的坐标为（-，），（1，-1）．
分析：（1）证明IF⊥OD，进而得到∠FED=∠EBA；又因为DA=BA，且∠OAD=∠EAB=90°，故可证明△OAD≌△EAB；
（2）首先求出点B、E的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）由于直线BD与x轴关于直线BF对称，则抛物线与直线BD的交点即为所求之点P．分别求出抛物线与直线BD的解析式，联立解方程，即可求出交点（点P）的坐标；
（4）首先证明△OED是顶角为135°的等腰三角形，若△BMD与△OED相似，则△BMD必须是等腰三角形．如答图2所示，在直线BF上能使△BMD为等腰三角形的点M有4个，分别记为M₁，M₂，M₃，M₄，其中符合题意的是点M₁，M₃．
点评：本题考查了二次函数综合题型：第（1）问涉及全等三角形的证明；第（2）问涉及利用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式；第（3）问涉及轴对称知识，以及抛物线与一次函数的交点问题；第（4）问涉及相似三角形的判定，以及点的坐标的确定与计算．本题涉及考点众多，难度较大，对数学能力要求较高．