Question

【题目】已知如图，是腰长为的等腰直角三角形，要求在其内部作出一个半圆，直径在的边上，且半圆的弧与的其他两边相切，则该半圆的半径是________（结果保留根号）．

Answer 1

【答案】或

【解析】

分两种情况：①是直径在斜边上；②是直径在腰上分别求解半圆半径的长即可．

解：①∵半圆的直径在△ABC的斜边上，且半圆的弧与△ABC的两腰相切，切点为D、E，
如图1，连接OD，OA，

∵AB与⊙O相切，
∴OD⊥AB，
∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，O为BC的中点，
∴AO⊥BC，
∴OD∥AC，
∵O为BC的中点，
∴OD=AC=2．
②∵半圆的直径在△ABC的腰上，且半圆的弧与△ABC的斜边相切，切点为D，
如图2，连接OD，设半圆的半径为r，

∴OB=4-r，
∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，
∴∠B=45°，
∴△OBD是等腰直角三角形，
∴OD=BD=r，
∴2r2=（4-r）2，解得r=-4+4，r=-4-4（舍去），

故答案为：或