Question

先观察下列等式，再回答问题

1+ 1 12 + 1 22

=1+

1

1

-

1

1+1

=1

1

2

；

1+ 1 22 + 1 32

=1+

1

2

-

1

2+1

=1

1

6

；

1+ 1 32 + 1 42

=1+

1

3

-

1

3+1

=1

1

12

．
（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想

1+ 1 92 + 1 102

=

1

1

90

．
（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n（n为正整数）表示的等式，并加以验证．

Answer 1

分析：（1）根据已知等式得到

1+ 1 92 + 1 102

的整数部分为1，分数部分中分子为1，分母为9与10得积；
（2）观察可得到一般式为

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=1+

1

n(n+1)

（n为正整数），然后根据二次根式的性质从左边开始化简，最后得到等式右边．

解答：解：（1）

1+ 1 92 + 1 102

=1

1

90

．
故答案为1

1

90

；

（2）

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=1+

1

n(n+1)

（n为正整数）．验证如下：
∵

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

1+ (n+1)2+n2 n2(n+1)2

=

1+ 2n2+2n+1 n2(n+1)2

=

1+ 2n(n+1) n2(n+1)2 + 1 n2(n+1)2

=

1+ 2 n(n+1) + 1 n2(n+1)2

=

[1+ 1 n(n+1) ]2

=1+

1

n(n+1)

∴

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=1+

1

n(n+1)

．

点评：本题考查了二次根式的性质与化简：

a2

=|a|．也考查了二次根式的运算．