Question

已知二次函数y=x²-kx+k-5
（1）求证：无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）若此二次函数图象的对称轴为x=1，求它的解析式．

Answer 1

（1）证明：令y=0，则x²-kx+k-5=0，
∵△=k²-4（k-5）=k²-4k+20=（k-2）²+16，
∵（k-2）²≥0，
∴（k-2）²+16＞0
∴无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点．

（2）解：∵对称轴为x=，
∴k=2，
∴解析式为y=x²-2x-3，
答：它的解析式是y=x²-2x-3．
分析：（1）令y=0，得到方程x²-kx+k-5=0，求出此方程的判别式为=（k-2）²+16，无论k取何实数，（k-2）²+16＞0，即可得到答案；
（2）根据抛物线的对称轴x=1，能求出k的值，代入抛物线的解析式即可．
点评：本题主要考查对抛物线与X轴的交点和根的判别式等知识点的理解和掌握，理解二次函数和一元二次方程之间的关系式解此题的关键，此题是一个比较典型的题目．