Question

24、如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若∠BAC=60°，猜测DG与AG间有何数量关系？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由AD为△ABC的角平分线，得到DE=DF，推出∠AEF和∠AFE相等，得到AE=AF，即可推出结论；（2）由已知推出∠EAD=30°，得到AD=2DE，在△DEG中，由∠DEG=30°推出DE=2DG，即可推出结论．

解答：（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
∴∠DEF=∠DFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF
∴点A、D都在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF．

（2）答：AG=3DG．
理由：∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=30°，
∴AD=2DE，∠EDA=60°，
∵AD⊥EF，∴∠EGD=90°，
∴∠DEG=30°
∴DE=2DG，
∴AD=4DG，
∴AG=3DG．

点评：本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，解此题的关键是（1）证AE=AF和DE=DF；（2）证AD=2DE和DE=2DG．题目比较典型，综合性强．