Question

某中学老年活动中心排练一个扇子舞蹈，需要手工制作一个周长为120cm的扇子（如图①所示）
（1）设扇子半径为xcm，则扇子的弧长为

 

cm，面积S（cm²）与半径x（cm）的关系

 

．
（2）如果扇子的半径为30cm，这样做出的扇子不仅美观而且面积最大．请你用数学知道说明理由，并算出最大面积．
（3）在（2）的情况下，为了使扇子更牢固耐用，我们在扇面上用四根竹条粘贴，且竹条之间的间隔距离相等，（如图②所示）请你算一算每根竹条之间的夹角（π取3）

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）扇子的弧长等于扇形的周长减去两和半径即可得到，根据扇形的面积公式得到S与x的函数关系；
（2）由（1）得到S是x的二次函数，利用配方法把解析式配成顶点式，得到S=-（x-30）²+900，根据二次函数的性质，当x=30时，S的最大值为900，
（3）设∠AOB的度数为n°，根据扇形的面积公式得到

n•π•302

360

=900，解得n=120，即∠AOB=120°，由于竹条之间的间隔距离相等，根据圆心角、弧、弦的关系得到每根竹条之间的夹角相等，所以每根竹条之间的夹角=120°×

1

5

=24°．

解答：解：（1）扇子的弧长=（120-2x）cm，
S=

1

2

•x•（120-2x）=-x²+60x（0＜x＜60）；
故答案为（120-2x），S=-x²+60x（0＜x＜60）；
（2）S=-x²+60x
=-（x-30）²+900，
∵a=-1＜0，
∴S有最大值，当x=30时，S的最大值为900，
即扇子的半径为30cm，这样做出的扇子不仅美观而且面积最大，最大面积为900cm²；
（3）设∠AOB的度数为n°，
∵x=30时，扇形的面积为900，
∴

n•π•302

360

=900，
∴n=

360

3

=120，
即∠AOB=120°，
∵竹条之间的间隔距离相等，
∴每根竹条之间的夹角相等，即为120°×

1

5

=24°．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆心角、弧、弦的关系和扇形的面积公式；会运用二次函数的性质解决实际问题中的最值问题．