Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD=2，BC=4，∠C=60°，对角线BD上有任意一点P（P点不与点B、D重合）且PE∥BC交CD于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是（　　）

• A、

  3

• B、2

  3

• C、

  3

  2

  3

• D、

  3

  4

  3

Answer 1

分析：首先根据平行四边形的定义确定四边形PEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质，易得△POF≌△DOE，即得S_阴影=S_△DBC；根据直角三角形的性质，求得梯形的高即可．

解答：解：∵PE∥BC，PF∥CD，
∴四边形PEDF是平行四边形，
∴OP=OD，OE=OF，
∵∠POF=∠DOE，
∴△POF≌△DOE，
∴S_阴影=S_△DBC，
过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，
∵AD∥BC，
∴∠AMN=∠MND=∠ADN=90°，
∴四边形AMND是矩形，
∴AD=MN=2，AM=DN，
∵AB=CD，
∴△ABM≌△DCN，
∴BM=CN=1，
∵∠C=60°，
∴∠CDN=30°，
∴CD=2，DN=

3

，
∴S_阴影=S_△DBC=

1

2

BC•DN=

1

2

×4×

3

=2

3

．
故选B．

点评：此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的性质以及直角三角形的性质等知识．解题的关键是注意作梯形的两条高是梯形中的常见辅助线．