Question

9．如图（1），已知等腰直角△ABC中，BD为斜边上的中线，E为DC上的一点，且AG⊥BE于G，AG交BD于F．
（1）求证：AF=BE
（2）如图（2）若点E在DC的延长线上，且AG⊥BE于G，AG与DB的延长线于F，问AF与BE能相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先证明AD=BD，再证明∠DAF=∠DBE，可利用ASA定理判定△AFD≌△BED，进而得到AF=BE；
（2）方法与（1）类似，证明△AFD≌△BED（AAS）可得AF=BE．

解答 证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，BD为斜边上的中线，
∴BD=AD=$\frac{1}{2}$AC，∠ADB=90°，
∴∠1+∠GAD=90°，
∵AG⊥BE于G，
∴∠2+∠DBE=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠DAF=∠DBE，
在△AFD和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠BDE}\\{AD=BD}\\{∠DAG=∠DBE}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△BED（ASA），
∴AF=BE；
（2）AF与BE相等；
∵△ABC是等腰三角形，BD为斜边上的中线，
∴BD=AD=$\frac{1}{2}$AC，∠ADB=90°，
∴∠DBE+∠DEB=90°，
∵AG⊥BE于G，
∴∠GBF+∠F=90°，
∵∠DBE=∠GBF，
∴∠F=∠DEB，
在△AFD和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEB=∠F}\\{∠BDF=∠ADF=90°}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△BED（AAS），
∴AF=BE；

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．