Question

半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC∶CA = 4∶3，点P在⊙O上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．

（1）当点P运动到与点C关于AB对称时，求CQ的长；

（2）当点P运动到弧CP的中点时，求CQ的长．

(3)当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值，并求此时CQ的长．

Answer 1

解：（1）当点P运动到与点C关于AB对称时，如图所示，此时CP⊥AB于D，

      

又∵AB为⊙O的直径，         ∴∠ACB =90°．

∵AB=5,  BC∶CA=4∶3，      ∴BC = 4, AC=3．

又∵AC?BC=AB?CD，        ∴ ,  ．

在Rt△PCQ中，∠PCQ = 90°,  ∠CPQ =∠CAB，

∴.  

∴．        

(2) 当点P运动到弧CP的中点时,如图所示，过点B作BE⊥PC于点E，

     

∵P是弧AB的中点, ∠PCB=45°,    ∴．

又∠CPB=∠CAB，               ∴tan∠CPB= tan∠CAB=，

即    ,  从而．

由（1）得，．

(3)因为点P在⊙O上运动过程中，在Rt△PCQ中，有．

所以PC最大时，CQ取到最大值．

∴当PC过圆心O，即PC 取最大值 5时，CQ最大，最大为．