Question

如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M(

3

，1)，与x轴，y轴分别交于A、B两点，且MA=MB，则△ABO的内切圆⊙O₁的半径r₁=

 

；若⊙O₂与
⊙O₁、l、y轴分别相切，⊙O₃与⊙O₂、l、y轴分别相切，…，按此规律，则
⊙O₂₀₁₀的半径r₂₀₁₀=

 

．

Answer 1

分析：设圆O₁的半径为R，根据M的坐标求出A、B的坐标，根据三角形的面积公式求出△AO₁O、△BOO₁、△ABO₁的面积，相加即可得出△ABO的面积，代入求出即可；同理求出半径R₂，R₃，R₄，总结规律求出答案．

解答：解：设圆O₁的半径为R，
∵M是AB的中点，
∴B（0，2），A（2

3

，0），
则S△OO1B=

1

2

×OB×R=R，
S△OO1A=

1

2

×AO×R=

3

R
S△ABO1=

1

2

×AB×R=

1

2

×

22+(2 3 )2

×R=2R
S_△ABO=

1

2

×2×2

3

=2

3

；
∵S_△ABO=S△BOO1+S△AOO1+S△ABO1=（3+

3

）R=2

3

，
∴R=

2 3

3+ 3

=

3

-1，
故答案为：

3

-1．
（2）连接BO₁，则BO₁过O₂，
连接O₁D，O₂E，
∵B（0，2），A（2

3

，0），
∴∠ABO=60°，
∵⊙O₁和AB、OB相切，
∴∠O₁BO=30°，
∴O₁B=2O₁D=2R₁，
∵O₁O₂=R₁+R₂，
∴O₂B=2R₁-（R₁+R₂），
则O₁D∥O₂E，
∴△BEO₂∽△BDO₁，
∴

O2E

O1D

=

O2B

O1B

，
∵O₂E=R₂，O₁D=R₁，
∴

R2

R1

=

2R1-(R1+R2)

2R1

，

解得：R₂=

R1

3

=

3 -1

3

，
同理R₃=

R2

3

=

3 -1

32

，
…
R₂₀₁₀=

3 -1

32009

，
故答案为：

3

-1，R₂₀₁₀=

3 -1

32009

，

点评：本题主要考查对三角形的内切圆与内心，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能根据求出的结果得到规律是解此题的关键．