Question

6．如图，已知点A是直线y=2x+1与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）图象的交点，且点A的横坐标为1．

（1）求k的值；
（2）如图1，双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上一点M，若S_△AOM=4，求点M的坐标；
（3）如图2所示，若已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）图象上一点B（3，1），点P是直线y=x上一动点，点Q是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）图象上另一点，是否存在以P、A、B、Q为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）点A是直线y=2x+1的点，点A的横坐标为1，代入y=2×1+1=3，求得点A即可得到结果；
（2）如图1，设点M（m，$\frac{3}{m}$），过A作AE⊥x轴于E，过M作MF⊥x轴于F，根据题意得：S_△AOM=S_梯形AEFM=$\frac{1}{2}$（3+$\frac{3}{m}$）（m-1）=4，解方程即可得到结果；
（3）首先求得反比例函数的解析式，然后设P（m，m），分若PQ为平行四边形的边和若PQ为平行四边形的对角线两种情况分类讨论即可确定点Q的坐标．

解答 解：（1）∵点A是直线y=2x+1的点，点A的横坐标为1，
∴y=2×1+1=3，
∴A（1，3），
∵点A是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）图象上的点，
∴k=3；

（2）如图1，设点M（m，$\frac{3}{m}$），
过A作AE⊥x轴于E，过M作MF⊥x轴于F，如图1；
∵S_△AEO=S_△OFM，
∴S_△AOM=S_梯形AEFM，
①当点M在A点右侧时，S_△AOM=S_梯形AEFM=$\frac{1}{2}$（3+$\frac{3}{m}$）（m-1）=4，
解得：m=3（负值舍去），
∴M（3，1）；
②当点M在A点左侧时，S_△AOM=S_梯形AEFM=$\frac{1}{2}$（3+$\frac{3}{m}$）（1-m）=4，
解得m=$\frac{1}{3}$（负值舍去），
∴M（$\frac{1}{3}$，9）；
综上所述，M的坐标为（3，1）或（$\frac{1}{3}$，9）；

（3）∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）图象经过点A（1，3），
∴k=1×3=3，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{3}{x}$，
∵点P在直线y=x上，
∴设P（m，m）
，若PQ为平行四边形的边，
∵点A的横坐标比点B的横坐标小2，点A的纵坐标比点B的纵坐标大2，
∴点Q在点P的下方，则点Q的坐标为（m+2，m-2）如图2，
若点Q在点P的上方，则点Q的坐标为（m-2，m+2）如图3，
把Q（m+2，m-2）代入反比例函数的解析式得：m=±$\sqrt{7}$，
∵m＞0，
∴m=$\sqrt{7}$，
∴Q₁（$\sqrt{7}$+2，$\sqrt{7}$-2），
同理可得另一点Q₂（$\sqrt{7}$-2，$\sqrt{7}$+2）；
②若PQ为平行四边形的对角线，如图4，
∵A、B关于y=x对称，
∴OP⊥AB
此时点Q在直线y=x上，且为直线y=x与双曲线y=$\frac{3}{x}$的交点，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\sqrt{3}}\\{{y}_{1}=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\sqrt{3}}\\{{y}_{2}=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$（舍去）
∴Q₃（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）
综上所述，满足条件的点Q有三个，坐标分别为：Q₁（$\sqrt{7}$+2，$\sqrt{7}$-2），Q₂（$\sqrt{7}$-2，$\sqrt{7}$+2），Q₃（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求函数的解析式，平行四边形的判定和性质，准确的画出图形是解题的关键．