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(2013•海沧区一模)如图,已知双曲线y=
k-3
x
(k为常数)与过原点的直线相交于A、B两点,第一象限内的点M(点M在A的上方)是双曲线y=
k-3
x
上的一动点,设直线AM、BM分别与y轴交于P、Q两点.
(1)若直线AB的解析式为y=
1
6
x
,A点的坐标为(a,1),
①求a、k的值;
②当AM=2MP时,求点P的坐标.
(2)若AM=m•MP,BM=n•MQ,试问m-n的值是否为定值?若是求出它的值;若不是,请说明理由.
分析:(1)①由A(a,1)在直线y=
1
6
x上,得
1
6
a=1,解得a=6,然后根据A(6,1)在双曲线y=
k-3
x
上解得k=9;
②过点A作AE⊥y轴于E,过点M作MF⊥y轴于F得到MF∥AE后即可证明△PMF∽△PAE,利用相似三角形对应线段的比相等得到MF=2,从而得到点M(2,3),利用待定系数法求得直线AM的解析式即可;
(2)如图,设点A的横坐标为b,点M的横坐标为t,则点B的横坐标为-b;过点B作BC⊥y轴于C,过点M作MD⊥AE于D,根据MD∥y轴得到△AMD∽△APE根据相似三角形对应线段的比相等用b、t表示出m和n,从而求得m-n的值.
解答:解:(1)①∵A(α,1)在直线 y=
1
6
x
上,
1
6
a=1,
解得a=6.
∵A(6,1)在双曲线 y=
k-3
x
上,
k-3
x
=1,
解得k=9,
∴a,k 的值分别是6,9;

②如图1,过点A作AE⊥轴于E,过点M作MF⊥轴于F,
则MF∥AE,
∴△PMF∽△PAE,
MF
AE
=
PM
PA
,即
MF
6
=
1
3

∴MF=2,
∴点M(2,3).
∵A(6,1)、M(2,3),
∴直线AM的解析式为 y=-
1
2
x+4.
∴点P(0,4);

(2)答m=n为定值-2.如图2,设点A的横坐标为b,点M的横坐标为t,则点B的横坐标为-b;
过点B作BC⊥y 轴于C,过点M作MD⊥AE于D.
∵MD∥y 轴,
∴△AMD∽△APE,
AM
AP
=
AD
AE
,即
m
m+1
=
b-t
b
,得m=
b-t
t

∵MF∥BC,
∴△MFQ∽△BCQ,
FM
BC
=
MQ
BQ
,即
t
b
=
1
n-1
,得n=
b+t
t
 ②
∴由①-②得,m-n=
b-t
t
-
b+t
t
=-2.
点评:此题综合考查了反比例函数,正比例函数等多个知识点.此题难度稍大,综合性比较强,注意对各个知识点的灵活应用.
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