Question

如图（1）己知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴正半轴交于点C，且
cos∠CAB=

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．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（2），己知点H（0，1）．问在抛物线上是否存在点G，使得S_△GHC=S_△GHA？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（3），抛物线上点D在x轴上的正投影为点E（2，0），F是OC的中点，连接DF，P为线段BD上的一点，若∠EPF=∠BDF，求线段PE的长．

Answer 1

分析：（1）由抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），求出与y轴交于点C，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）假设在抛物线上存在点G，设G（m，n），根据n的不同取值分类探讨即可；
（3）利用待定系数法求得直线DF的解析式，即可证得△PBE∽△FDP，由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答：解：（1）由点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴正半轴交于点C，且cos∠CAB=

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；
求得点C（0，3），把三点代入y=ax²+bx+c
得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=-1 b=2 c=3

，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3；

（2）假设在抛物线上存在点G，设G（m，n），显然，当n=3时，△AGH不存在．
①当n＞3时，
可得S_△GHA=

m

2

-

n

2

+

1

2

，S_△GHC=m，
∵S_△GHC=S_△GHA，
∴m+n-1=0
由

-m2+2m+3=n m+n-1=0

，
解得：

m= 3+ 17 2 n= -1- 17 2

或

m= 3- 17 2 n= -1+ 17 2

∵点G在x=3的右侧，
∴G（

3+ 17

2

，

-1- 17

2

）；
②当-4≤n＜-3时，
可得S_△GHA=-

m

2

-

n

2

-

1

2

，S_△GHC=-m，
∵S_△GHC=S_△GHA，
∴左m+n+1=0，
由

-m2+2m+3=n m+n+1=0

解得

m=4 n=-5

或

m=-1 n=0

∵点G在x=3左侧，
∴G（-1，0）．
∴存在点G（

3+ 17

2

，

-1- 17

2

）；或G（-1，0）；

（3）如图，

∵E（2，0），
∴D横坐标为2，
∵点D在抛物线上，
∴D（2，3），
∵F是OC中点，
∴F（0，

3

2

），
∴直线DF解析式为：y=

3

4

x+

3

2

，
则它与x轴交于点手（-2，0），
则FE=FD=

5

2

，∠EPF=∠PDF，∠BPE+∠EPF+∠FPD=∠DFP+∠PDF+∠FPD=180°，
∵∠EPF=∠PDF，
∴∠BPE=∠DFP，
∴△PBE∽△FDP，
∴

PB

FD

=

BE

DP

∴PB•DP=

5

2

，
∵PB+DP=BD=

10

，
∴PB=

10

2

，
即P是BD中点，连接DE，
∴在Rt△DBE中，PE=

1

2

BD=

10

2

．

点评：此题综合考查待定系数法求二次函数，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，以及渗透分类讨论思想．