Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠EAF=90°，AB•AF=AC•AE．连接CF并延长CF交AB于点G，交BE于点D．
（1）求证：△AGC∽△DGB；
（2）若点F为CG的中点，AB=3，AC=4，

DG

DB

=

1

2

，求DF的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）利用两边的比值相等并且它们的夹角相等的两个三角形相似即可先证明：△EAB∽△CAF，由此得到∠DBG=∠ACF，进而可证明△AGC∽△DGB；
（2）由（1）可证明：△AGC∽△DGB，所以∠CAG=∠GDB=90°，所以△BDG是直角三角形，并且tan∠DBG=tan∠ACG=

1

2

，由此DG可求，再根据已知条件求出GF的长即可得到DF的长．

解答：解：（1）∵∠BAC=90°，∠EAF=90°，
∴∠EAF+∠GAF=∠CAF+GAF=90°，
∴∠EAB=∠CAF．
∵AB•AF=AC•AE
∴

AE

AF

=

AB

AC

，
∴△ABE∽△ACF，
∴∠DBG=∠ACF．
∵∠DGB=∠AGC，
∴△AGC∽△DGB；
（2）∵△AGC∽△DGB，
∴

AG

AC

=

DG

DB

=

1

2

，
∵AC=4，
∴AG=2，
∴CG=

AC2+AG2

=2

5

．
∵∠BAC=90°，点F为CG的中点，
∴FG=

5

．
∵AB=3，
∴BG=AB-AG=1，可得DG=

5

5

．
∴DF=DG+GF=

5

5

+

5

=

6 5

5

．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理的运用、解直角三角形的知识，题目的综合性很强，难度不小，对学生的解题能力要求很高，是一道不错的中考题．